Applications de la Dérivation .

[rose075]

Bonsoir ,

J'ai 4 exercices de maths à faire sur la dérivée , je l'ai fais je voudrai savoir si mes resultats correct donc je me dirige vers vous

Exercice 1 :

On considère la fonction f definie sur R par :

f(x)= 1/2x² + 2x .

1°Determiner f'(x)
2°Ecrire une équation des tangentes à la courbe Cf aux point d'abscisses -2 et 0 .
3°Demontrer que la tangente à Cf au point d'abscisse a est :
y = ( a + 2 ) x - 1/2 a² .
4°Determiner les points Cf en lesquels la tangente passe par le point A ( 0 , -2 ) .
5° Construire la courbe Cf et les tangentes déterminées dans les questions précédentes .

Mes resultats :
1)f'(x) = 1/2 * 2 x + 2 = 1x + 2 = x + 2 .
2)y = f(-2)+f'(-2) (x + 2 ) = -2
y= f(0)+f'(0)(x-0 = 2x
3) y = (a + 2 ) x - 1/2 a² = f(a) + f'(a) ( x - a ) = ( 1/ 2 a² + 2x ) + ( a + 2 ) ( x - a ) = (a + 2 ) x - 1/2 a²
4) y = - 2 et x = 2 x
5 ) Faire sur feuille .

Exercice 2 :

On considère n nombres réels x1 , x2 , ... , xn et f la fonction definie par :

f(x ) = E [ ps : sa ressemble a un E dessus il y a n et en dessous 1 ] (x - x i ) ² , avec n N*

Démontrér que f admet un minimum que l'on déterminera .

Mon résultat :

2 E ( sans rien au dessus ni en dessous ) ( x - x : )
2nx - 2 E x :

E x / n

Exercice 3 :

Determiner le maximum du produit de 2 nombres sachant que a + b = S , réel fixé .

Mon resultat :

a * b = ab le maximum est ab ( mais je suis pas sur cette exercice j'ai du mal a comprendre )

Exercice 4 :

1 ) Etudier les variations de la fonction f definie sur I = ] 0 , + l'infini [ , par f(x ) = x + 1/x .
2) En deduire que , pour tout réel x strictement positif x + ( 1 / x ) superieur ou égal à 2 .

Mes résultats :

1 ) f(x ) = x + (1/x) donc la dérivé c'est f'(x) = 1 - 1/x²

x 0 + l'infini

1 + +

-1 / x² 0 -

f ' ( x ) + -

f ( x ) -l'infini croissant 0 decroissant - l'infini

2 ) x + ( 1 / x ) superieur ou égal à 2
x superieur ou égal à 2x


Voilà je vous remercie d'avance d'avoir pris le temps pour m'aidé

Bonne soirée

[gigamesh]

Bonjour,

pour l'exercice 1 c'est bien à part la question 4.
Tu peux dire que la tangente en (a;f(a)), d'équation , passe par A(0;-2) si et seulement si , ce qui nous amène à résoudre.
Donc OK pour la tangente en -2, d'équation y=-2, mais ton x=2x c'est quoi ???

Pour l'exercice 2, ton "espèce de E" c 'est la lettre grecque sigma, en majuscule, qui est utilisée pour "somme".
Par définition,

Tu développes, tu réduis (en gardant le symbole sigma ou bien en utilisant "..." c'est bien aussi) et tu tombes sur un trinôme du second degré, que tu sais dériver et dont tu connais les variations.

Exercice 3

Tu sais que a+b=S donc b=S-a et le produit, en fonction de a, est f(a)=a(S-a). Tu dérives, tu étudies le signe de la dérivée, tu dresses le tableau des variations, tu en déduis le maximum en fonction de S


Exercice 4

La dérivée est correcte mais pas l'étude de son signe.
Ecris que ; tu vas trouver que f admet un minimum en 1.

[rose075]

Merci gigamesh de m'avoir repondu

Pour l'exercice 1 la question 4 jai pas trop compris votre raisonnement :S Si vous pouvez m'expliquer comment vous passez de -2 =(a+2).0 -\frac{a^2}{2}
à a^2=4 sa m'aiderai à comprendre

Sinon moi j'ai trouvée x = 2x en calculant mais je crois bien que je me suis trompée .

Pour l'exercice 2 :

n1 ai = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

donc f(x)=;)n1 (x-xi)² = (x-x1)² + (x-x2)² + ... + (x-xn-1)²+(x-xn)²

La dérivée de ceci c'est : f'(x) = 2n

Je sais pas comment trouvée son minimum de ceci :S

Pour l'exercice 3 :

f(a)= a(S-a) = a * S - a * -a = aS + a²

La dérivée c'est : f'(x) = a + 2a

Je sais pas comment je pourrai etudier le signe de cette dérivée sachant que ce ne sont pas des nombres :/ .

Exercice 4 :

f(x) = (x-1)(x+1)/x²

Donc

x - l'infini -1 1 + l'infini

x - 1 - - 0 +

x + 1 - 0 + +

x² + + + +

f'(x) + 0 - + +

f(x) - l'infini croissant -1 decroissant 1 croissant + linfini

Donc la fonction admet bien un minimum en -1

Merci encore de votre aide :++:

[gigamesh]

Merci gigamesh de m'avoir repondu

Pour l'exercice 1 la question 4 jai pas trop compris votre raisonnement :S Si vous pouvez m'expliquer comment vous passez de -2 =(a+2).0 -\frac{a^2}{2}
à a^2=4 sa m'aiderai à comprendre

Bin tu réduis, , et tu multiplies par 2, puis tu prends les opposés... des manipulations algébriques de base...

Pour l'exercice 2 : [/B]

n1 ai = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

donc f(x)=;)n1 (x-xi)² = (x-x1)² + (x-x2)² + ... + (x-xn-1)²+(x-xn)²

La dérivée de ceci c'est : f'(x) = 2n

Je sais pas comment trouvée son minimum de ceci :S

Non, pas du tout.
La dérivée deest la dérivée de, c'est donc , de même pour les autres termes.

Pour l'exercice 3 :

f(a)= a(S-a) = a * S - a * -a = aS + a²

La dérivée c'est : f'(x) = a + 2a

Je sais pas comment je pourrai etudier le signe de cette dérivée sachant que ce ne sont pas des nombres :/ .

Non pas tout à fait.
D'abord ce n'est pas maiscar ici la variable s'appelle a.
Et, qui s'annule pour a=.... } ici un truc en fonction de S

Exercice 4 :

f(x) = (x-1)(x+1)/x²

Donc

x - l'infini -1 1 + l'infini

x - 1 - - 0 +

x + 1 - 0 + +

x² + + + +

f'(x) + 0 - + +

f(x) - l'infini croissant -1 decroissant 1 croissant + linfini

Donc la fonction admet bien un minimum en -1

Merci encore de votre aide :++:

Pas en -1 mais en 1 !!!
Désolé, je n'arrive pas à lire ton tableau de variations ; juste une remarque quand même, l'énoncé dit explicitement que f est définie sur ]0;+oo[

[rose075]

Merci d'avoir répondu aussi vite :)

Donc exo 1 : a² = 4

a : racine de 4

donc x = racine de 4 ?

Exo 2 : f ' (x) = 2 x - 2x1

Il faut donc que je fasse un tableau de signe et variation poiur trouvée le minimum ?

Exo 3 : f'(a)=S+2a, qui s'annule pour 2a = -S ; a = -S/2

Exo 4 : Excusez moi je me suis trompée d'intervalle :S donc sa donne

x 0 1 + l'infini

x - 1 - 0 +

x + 1 + +

x² + +

f'(x) - 0 +

f(x) 0 de croissant 1 croissant + l'infini

Voilà :)

[gigamesh]

Merci d'avoir répondu aussi vite

Donc exo 1 : a² = 4

a : racine de 4

donc x = racine de 4 ?

Hum... ssi a=2 ou a=-2 !!
Donc les deux tangentes qui passent par (0;-2) sont :
*la tangente en a=2, d'équation ....
*et la tangente en a=-2, d'équation ...

Exo 2 : f ' (x) = 2 x - 2x1

Il faut donc que je fasse un tableau de signe et variation poiur trouvée le minimum ?

Il en manque ; avec a=... et b=...

Ensuite, oui il faut étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f

Exo 3 : f'(a)=S+2a, qui s'annule pour 2a = -S ; a = -S/2

Oui, presque ; f'(a)=S-2a qui s'annule pour 2a=S donc a=S/2 ; le maximum est atteint en a=S/2 donc b=S-S/2=S/2 et le maximum vaut alors ab=S/2*S/2=...

Il faut quand même prouver que c'est un maximum, en dressant le tableau des variations de f

Exo 4 : Excusez moi je me suis trompée d'intervalle :S donc sa donne

x 0 1 + l'infini

x - 1 - 0 +

x + 1 + +

x² + +

f'(x) - 0 +

f(x) 0 de croissant 1 croissant + l'infini

Voilà

Oui, le tableau des variations est correct ; n'oublie pas de calculer f(1) et de le placer au bout de la flèche qui descend (et donc au début de celle qui monte :zen: ), ce qui te permet de répondre à la question posée.

[rose075]

Vous etes vraiment très gentille de prendre du temps pour m'aidée ! :)

Donc

Exercice 1

y = -2

x = 2

Exercice 2

f'(x)=2x -2x_1 +2x -2x_2 +... +2x -2x_n = 2nx -2(x_1+x_2+...+x_n) = ax+b avec a= 2x et b= -2

Exercice 3

f'(a)=S-2a qui s'annule pour 2a=S donc a=S/2 ; le maximum est atteint en a=S/2 donc b=S-S/2=S/2 et le maximum vaut alors ab=S/2*S/2= S² /4 .

Voilà :)

[gigamesh]

Vous etes vraiment très gentille de prendre du temps pour m'aidée !

Donc

De rien !

Exercice 1

y = -2

x = 2

hum hum ; la deuxième équation me semble bien louche, car c'est l'équation d'une droite verticale, ce qui est plutôt inhabituel pour une tangente (bon ça existe, par exemple la tangente à la courbe de la fonction racine en zéro).

Il y a bien un x égal à 2, mais ce n'est pas "x=2" l'équation de la tangente.

En fait on parle bien de la tangente au point d'abscisse 2, mais on utilise plutôt la lettre a dans ce contexte, car dans l'équation de la droite on a aussi un x, qui n'est pas forcément égal à 2...

Bon on trouve l'équation de cette deuxième tangente :
a=2 c'est l'abscisse du point de la courbe de f où on construit la tangente
f(a)=f(2)=\frac{1}{2}2^2+2.2=6 c'est l'ordonnée du point
f'(a)=f'(2)=2+2=4 c'est le coefficient directeur de la tangente

L'équation est y=f'(a)(x-a)+f(a)
donc y=4(x-2)+6 qu'on peut simplifier un peu y=4x-2

Exercice 2

f'(x)=2x -2x_1 +2x -2x_2 +... +2x -2x_n = 2nx -2(x_1+x_2+...+x_n) = ax+b avec a= 2x et b= -2

Pas encore ; a=2n

Exercice 3

f'(a)=S-2a qui s'annule pour 2a=S donc a=S/2 ; le maximum est atteint en a=S/2 donc b=S-S/2=S/2 et le maximum vaut alors ab=S/2*S/2= S² /4 .

Voilà

Exercice 3 : oui, c'est ça !

[rose075]

Re Bonsoir :)

Pour l'exercice 1 vous avez ecris f(a)=f(2)=\frac{1}{2}2^2+2.2=6

J'ai pas compris a cause des signes :S

L'exercice 2 :

a=2n b=-2(x_1+x_2+...+x_n)

Donc le tableau de signe donne

x - l'infini 0 + l'infini

2n - 0 +

b + -

f'(x) - 0 -

f(x) -l'infini decroissant 0 decroissant + l'infini


:)

[gigamesh]

Re Bonsoir

Pour l'exercice 1 vous avez ecris f(a)=f(2)=\frac{1}{2}2^2+2.2=6

J'ai pas compris a cause des signes :S

ça sera plus joli comme ça (quand tu mets ce genre d'écriture entre les balises [ TEX] et [ /TEX] cela permet d'avoir une mise en page mathématique plus agréable à lire ; j'avais juste oublié les balises...

L'exercice 2 :

a=2n b=-2(x_1+x_2+...+x_n)

Donc le tableau de signe donne

x - l'infini 0 + l'infini

2n - 0 +

b + -

f'(x) - 0 -

f(x) -l'infini decroissant 0 decroissant + l'infini

nan nan nan !

Il est assez abstrait cet exo.

On va prendre un exemple numérique :
prenons n=3, , et

Alors
donc
et avec et

donc quand tu étudies le signe de ax+b, il n'y a que x qui varie, a et b sont fixés ; tu étudies donc le signe d'une expression du peremier degré (d'une fonction affine si tu préfères). Et comme a=2n est strictement positif, ta fonction affine est croissante et le signe est de la forme - 0 + avec le zéro pour x=-b/a (dans l'exemple numérique, f'(x) s'annule pour x=-b/a=-(-76)/6=38/3).

d'où les variations :
f décroît sur ]-inf ; -b/a]
f croît sur [-b/a; +inf [

il te reste à remarquer que -b/a en revenant à , .... et n,
c'est juste la moyenne des
(et le minimum de f s'appelle la variance des )

[rose075]

Je vous dérange une dernière fois et ensuite je pense que sa sera fini

Pour l'exercice 3 vous avez écris une fois f '( a ) = S + 2a et une autre fois f ' (a ) = S - 2a

Lequel est le bon ? je pense que c'est le 1 er non ?

De plus je sais pas comment dresser un tableau de signe et variation pour ceci parce que je peux pas savoir comment varie " S" et "2a" comme ce ne sont pas des chiffres :S

[gigamesh]

Je vous dérange une dernière fois et ensuite je pense que sa sera fini

Pour l'exercice 3 vous avez écris une fois f '( a ) = S + 2a et une autre fois f ' (a ) = S - 2a

Lequel est le bon ? je pense que c'est le 1 er non ?

De plus je sais pas comment dresser un tableau de signe et variation pour ceci parce que je peux pas savoir comment varie " S" et "2a" comme ce ne sont pas des chiffres :S

Oui, désolé.
On a donc .
Attention a(S-a)=aS-a² et pas aS-a(-a) !

S et 2a ne sont pas des chiffres, c'est vrai, mais ce sont des nombres quand même, simplement ils sont écrits avec des lettres.
Pour étudier le signe de S-2a, où la variable est a, tu peux par exemple résoudre l'inéquation S-2a>0, qui équivaut à S>2a donc S/2>a qu'on peut réécrire a<S/2.
Du coup sur l'intervalle ]-oo;S/2] on donc f est croissante sur cet intervalle ; et sur [S/2;+oo[ et f décroît.

[rose075]

Je vous remercie beaucoup de m'avoir aidée jusqu'à la fin :) J'espere avoir une bonne note et grace a vous je comprend mieux ce chapitre :)

Merci encore et bonne continuation :)

[gigamesh]

Merci,
bonne continuation à toi aussi !