Démo newton

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
je ne comprends pas une démonstration au sujet de la méthode de newton pour approximer une racine :

Si est la racine de f que l'on cherche,

théorème :
La suite est définie par : = b et = - f ()/f ' () n N.
Elle est décroissante, minorée par , et converge vers .

voici la démo :
-pour la formule j'ai compris mais c'est pour montrer qu'elle est décroissante et minorée que je ne comprends pas car j'ai l'impression qu'il tourne en rond, ie qu'il se sert de la décroissance de pour montrer que est minorée par , et inversement...
De plus je ne comprends pas le passage où il parle de convexité.

"On traite le cas où f ' > 0 et où f '' > 0. On a = b.
Montrons par récurrence que [,b]:
-La propriété est vraie au rang 0 car = b [,b].
-Si la propriété est vraie au rang n, on a f () >= 0 (car f est strictement croissante et car f () = 0) et
f ()/f ' () >= 0 (car f ' > 0).
Puis, - = -f ()/f ' () 0 = f () (car les tangentes sont strictement en-dessous de la courbe représentative de f), puis > (car f est croissante)."

Quelqu'un comprend cette démonstration?? merci!![/FONT]

[ToToR_2000]

Avant l'argument sur la convexité, j'avoue ne pas voir ce qui n'est pas clair.
Ensuite, la stricte convexité comme le dit la démo permet de dire que les tangentes sont strictement en-dessous du graphe de f (sauf au point de tangence), donc:

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]J'ai compris grâce a toi ce passage de convexité !

et pour le début, pour moi, il ne démontre pas que est décroissante car il se sert de l'hypothèse de récurrence : f () >= 0
donc - <= 0 n'est pas vrai pour tout n...

j'apprécirais que tu me montres comment faire pour montrer que est décroissante.. :happy2: [/FONT]

[Ben314]

Ben...
Sans vouloir te vexer, utiliser l'hypothése de réccurence quand on fait une preuve par réccurence, c'est pas franchement interdit, je dirait même plus, c'est assez conseillé...

En résumé, je vois vraiment pas ce qui te bloque : il veut montrer par récurrence que mu <= xn <= b :
amorce : O.K. pour n=0.
Hérédité : il montre que, si mu <= xn <=b alors mu <= x(n+1) <= xn
[ce qui implique bien que mu <= x(n+1) <= b]

Conclusion : la proposition mu <= xn <= b est vrai pour tout n et on a montré en plus dans l'hérédité que la suite était décroissante.

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]Ah ça y est j'ai vu le truc,
en fait on devrait plutôt montrer la décroissance de la suite après avoir montrer qu'elle est minorée par c'est plus logique. merci totor 2000![/FONT]