Résolution exercice algèbre linéaire

[elodiemahe]

Voilà, je suis en pleine révision pour mes partiels de mathématiques, et a vrai dire, l'algèbre linéaire et moi ce n'est pas une très grande histoire d'amour. Si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre cet exercice, je lui en serai très reconnaissante.

Voici une photographie de l'exercice :


Je vous dis ce que j'ai fait :

1) Rang(u) ?

J'ai utilisé le pivot de Gauss pour en déduire que Rang(u) = 3

Rang(u-2Id) ?

u - 2Id = 1 0 -1 2 0 0 -1 0 -1
1 2 1 - 0 2 0 = 1 0 1
-1 0 1 0 0 2 -1 0 -1

Rang(u-2Id) = 1

Dimension de ker(u) ?

Dim(u) = 9 (car matrice 3*3)
Rg (u) = 3

D'après le th. du rang :

Ker(u) = Dim(u) - Rg(u) = 6

Dimension de ker(u - Id) ?

Dim(u - Id) = 1
Rg (u - Id) = 1

Donc dim ker(u-Id) = 0

-> Voilà c'est tout ce que j'ai fait, et ça me parait louche, je n'arrive pas à faire la question 2 et 3.

Merci de bien vouloir m'aider.

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Le rang de u est 2, en effet, la colonne 1 + la 3 donne la 2 ...
(D'ailleurs la dernière question confirme directement que rg(u) = 2 : Deux matrices semblables ont même rang !)

Et attention, dim(u) ici ca ne veut pas dire grand chose ...
Que dit le théorème du rang ?