[Résolu] Ensemble dénombrable ?

[DoUPod]

Bonjour,

J'ai retrouvé un "vieux" bouquin de 1980 de Terminales qui a une partie sur les ensembles.
Dans ce cours, il est dit "un ensemble E est dit dénombrable quand il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels N, c'est-à-dire qu'il existe une bijection de N sur E". Puis en exemple que l'ensemble Z et Q sont des ensembles dénombrables.

Mais, c'est là que ça pose problème car je ne comprend pas comment on peut avoir une bijection de N vers un sur-ensemble de N... Il y aura "une plus grande infinité" de nombre dans Z ou Q que dans N, non ?

Merci

[Nightmare]

Salut !

Eh bien justement non, il y a autant de rationnels que d'entiers relatifs, et autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels ! Par contre, il y a plus de réels que de rationnels !

[Ben314]

Salut,
Comme souvent, l'[url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_dénombrable]article de Wikipédia[/url] à ce sujet est assez bien fait.

[DoUPod]

Ok. J'ai lu l'article de Wikipédia qui est bien fait.

Seulement, je comprend la démonstration mais il y a un truc qui ma parait "illogique" (mais peut-être me manque-t-il certains éléments...) :
Pour chaque entier de l'ensemble N, il existe un entier de signe opposé dans l'ensemble Z. L'ensemble Z devrait donc avoir 2 fois plus d'éléments que l'ensemble N (même si 2*l'infini, ça fait toujours l'infini).
Z devrait donc avoir plus d'éléments que l'ensemble N, non ?

[Ben314]

Tout dépend de ce que tu appelle "plus que".
En théorie des ensemble, on pourrait traduire ce mot "plus que" en disant qu'il existe une injection de A dans B qui n'est pas une bijection.
Dans le cas des ensembles finis, on retrouve la notion usuelle de "plus que", mais pour les ensembles infinis, ça déconne : un ensemble infini a toujours "plus" d'élément que... lui même.
Donc, par exemple que Z ait "plus" d'élément que N ne l'empèche nullement d'avoir aussi autant d'éléments que N.

P.S. Il faut bien comprendre que Kronecker n'était pas un "gros abrutit qui ne comprend rien à rien" : il y a de réels problèmes dans l'acceptation de manipuler "in situe" des ensembles infinis.
Il faut en particulier bien comprende que les propriétées usuelles et bien connues des ensembles finis... ne s'appliquent pas aux ensembles infinis.

Dés qu'on accepte de parler d'ensembles infinis, on est trés trés proche du paradoxe de Russell, qui est trés simple, trés compréhensible, totalement contradictoire (comme tout paradoxe qui se respecte) et dont la façon dont les matheux s'en sont sortis pour "l'éliminer" est quand à elle beaucoup moins simple et moins claire...

[DoUPod]

Ok donc si j'ai bien compris, mon problème vient du fait que je raisonne avec N, Z etc comme s'il s'agissait d'ensembles finis.

Comme ils sont infinis, ils n'ont pas "plus" d'éléments qu'un autre.

Mais alors, pourquoi R ne peut-il pas être dénombrable ?

Merci

[benekire2]

et bien, on ne peut pas mettre R en bijection avec N ... ( attention cependant, je suis loin d'être celui qui est censé répondre ... )

[SimonB]

Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor pour la première preuve historique de ce fait.

[DoUPod]

Ok. Sujet résolu :)

P.S. : Je continue de suivre le sujet.

[nodjim]

Pour R, j'ai une idée personnelle sur le sujet, elle vaut ce qu'elle vaut, question d'appréciation:
On imagine un ensemble de fractions à écarts égaux qu'on positionne dans l'ordre sur une droite. Un irrationnel donné I traverse la droite en passant entre les 2 fractions qui l'encadrent. Derrière cette droite s'en trouve une autre qui contient d'autres fractions à écarts 2 fois plus petits que la série précédente. I franchit cette 2ème droite entre les 2 fractions qui l'encadrent. Etc...
Conclusion: I est un chemin infini entre les rationnels, alors que les rationnels sont des balises. Les 2 entités n'ont pas la même dimension. Vu comme ça, un chemin donné qu'on regarde à n'importe quel endroit contient une infinité de I, cette infinité étant encadrée par seulement 2 fractions.