DM Barycentre

par **Childou** » 09 Mai 2010, 14:08

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice sur les barycentres.
Sujet: A,B et C sont trois points de l'espace non alignés et k est un réel de l'intervalle [-1;1].
On note Gk le barycentre des points pondérés (A,

),(B,k) et (C,-k).
1. représenter les points A,B,C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G-1. (pour cette question aucun, problème)
2. a. Montrer que, pour tout réel k de l'intervalle [-1;1], on a l'égalité

=

C'est cette question qui me pose problème, j'ai commencé par:

, après ça je suis bloqué, je ne vois pas ce que je peux faire.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance.

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 14:29

N'oublies pas les poids devant les vecteurs dans la formule :
(k²+1)GA+k GB -k GC=0

Après il suffit que tu écrives que GB=GC+CB pour tomber sur la formule qu'ils demandent

par **Childou** » 09 Mai 2010, 14:40

Je comprend! Et ça marche aussi si l'on fait

non? et même chose pour

.
C'est bon je trouve le résultat demandé.

Dans la question 2.b. on nous demande d'établir un le tableau de variation de la fonction f définie sur [-1;1] par f(x)=

et je trouve comme dérivé f'(x)=

, il me semble que c'est juste. Je ne me suis pas trompé?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 14:43

oui oui c'est juste.

par **Childou** » 09 Mai 2010, 14:49

Et pour le tableau de variation il faut calculer les limites de

en -1 et 1?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 15:19

ca n'est pas des limites, ça n'est pas indéterminé. Effectivement f'(-1)=0 et f'(1)=0 montrent que ce sont des maximums et minimums de la fonction

par **Childou** » 09 Mai 2010, 15:28

en fait je n'ai qu'a calculé

, j'obtiens x=1 ou x=-1 de plus f'(x) est du signe de a à l'extérieur des racines donc sur [-1;1] f(x) est décroissante. C'est bon comme justification?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 15:32

oui c'est bon

par **Childou** » 09 Mai 2010, 15:36

d'accord. Pourrais-tu m'aider pour la question suivante, .c?
Il faut en déduire l'ensemble des points Gk, quand k décrit l'intervalle [-1;1]. Je ne vois absolument pas comment il faut faire.

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 15:41

tu as

Comme tu as étudié la fonction f(k) tu sais entre quelles valeurs elle varie et donc tu vas pouvoir en déduire dans qu'elle portion de la droite BC le point G va se balader.

par **Childou** » 09 Mai 2010, 15:48

Je nevois pas comment m'y prendre, il faut utiliser le fait qu'on ait trouvé

?
Et aussi on a trouvé que f(-1)=1/2 et f(1)=-1/2 ça peut nous aider?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 16:02

ben oui, tu sais maintenant que AG va se balader entre -BC/2 et +BC/2 et donc que G va parcourir un segment (de longueur BC) sur la droite parallèle à BC passant par A (A étant le milieu de ce segment)

par **Childou** » 09 Mai 2010, 16:04

Donc explicitement, qu'est-ce que l'ensemble des points Gk? Et comment le justifier?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 16:11

Explicitement ?? je viens de le dire, il me semble.

par **Childou** » 09 Mai 2010, 16:13

Donc pas besoin de calcul? Juste d'expliquer. Ok
Et serais-ce trop te demander de m'aider pour la question suivante?

par **Childou** » 09 Mai 2010, 16:39

3. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que

j'avais commencé par:

mais après je n'y arrive pas.
Merci d'avance pour votre aide

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 17:00

non tu n'y arriveras pas comme ça.

Tu introduis le barycentre G des points A,B,C avec les poids 2,1,-1
et G' le barycentre avec les poids 2,-1,1 et tu regardes ce que donne l'expression

par **Childou** » 09 Mai 2010, 21:15

On fait (A,2)(B,1)(C,-1)=(A,2)(B,-1)(C,1)?

par **Ericovitchi** » 09 Mai 2010, 22:28

sauf que (A,2)(B,1)(C,-1)=(A,2)(B,-1)(C,1), ça ne veut pas dire grand chose.

Ca donne 2 |GM|= 2|G'M| donc |GM|= |G'M| et donc le lieu de M c'est le plan médian du segment GG'

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