Intégrales et calculs d'aire

[Fab-333]

Bonjour à tous

Lors d'un cours sur les intégrales on a pu calculer en classe le volume d'un cône droit de hauteur h et de base de rayon R. Pour cela, on a utilisé l'intégrale pour z allant de 0 à h des pi*R(z)²dz avec R(z) le rayon du disque de côte z. on a en effet R(z)=(R/h)*z par thalès et l'intégrale est ensuite assez simple.

En fait je comprends bien cette démonstration, on a multiplié l'aire de chaque disque par un déplacement infinitésimal selon z et on trouve bien le volume du cône; ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi cette technique ne marche pas si l'on veut avoir l'aire latérale de ce cône: ne suffit-il pas, de la même façon, de calculer l'intégrale de 0 à h des 2*pi*R(z)dz (périmètre de chaque disque * déplacement infinitésimal)? car quand je calcule selon cette technique l'aire latérale, je ne retombe pas sur la formule générale...
ai-je mal calculé l'intégrale, ou ai-je peché dans mon raisonnement? je ne vois vraiment pas la différence de raisonnement entre le cas du volume par intégration de la surface et le cas de la surface par intégration du périmètre...
merci d'avance

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

C'est curieux ... Tu tombes sur quel résultat pour l'aire ?

[Fab-333]

aire =intégrale de 0 à h des 2piR(z)dz=intégrale(2pi*R/h*zdz) car on a R(z)/R=z/h par thalès
donc aire=2piR/h*intégrale entre 0 et h de (z*dz) et donc finalement je trouve aire = pi R h
alors qu'on est sensé trouver pi*r*apothème ie pi*R*rac(r²+h²)

[Arnaud-29-31]

L'épaisseur de la surface élémentaire, c'est da et non dz ...

[Arnaud-29-31]

L'épaisseur de la surface élémentaire, c'est da non dz ...

[Fab-333]

ok merci! mais pourquoi n'est-ce pas non plus da dans la formule utilisée pour le volume alors?

[Arnaud-29-31]

C'est assez dur à expliquer par écrit, il faut un bon dessin pour le voir mais c'est bien dz pour le volume et da pour l'aire.

Voila le dessin d'une coupe du volume élémentaire :



Est-ce que c'est assez clair ?

[Ben314]

Salut,
Ce qui ne marche pas dans cette technique, c'est que tu ne tient pas compte de la "pente" de la surface.
Essaye avec ta technique de calculer la surface un rectangle "penché" : tu ne tombe pas sur la bonne surface...

[Fab-333]

d'accord, si j'ai bien compris pour le volume, le volume qu'on "gagne" (par rapport au cylindre d'épaisseur dz) entre z et z-dz/2 est compensé par le volume qu'on "perd" entre z et z+dz/2? d'où on peut prendre dz comme épaisseur alors?
et pour l'aire, donc, cette même considération (ie aire gagnée par rapport à l'aire du cylindre d'épaisseur dz entre z et z-dz/2=aire perdue par rapport à ce même cylindre entre z et z+dz/2) n'est plus valable, c'est bien ça?
en tout cas merci de votre patience et de votre compréhension