Voilà la preuve que je connais : elle est basée sur la proposition ( classique ) suivante:
Si G est un groupe fini abélien, H un sous groupe, et
un caractere de H ( = morphisme de H dans C*, mais je pense que tu connais ), alors
se prolonge en un caractere de G.
Je passe la preuve de cette proposition ( pas très longue je te rassure ), elle est dans tout cours/livre qui parle un peu des caracteres..
Maintenant, soit G un groupe abélien. Soit
l'exposant du groupe ( =ppcm des ordres des éléments du groupe, mais je pense que tu connais aussi^^ )
La premiere étape consiste à montrer qu'il existe x d'ordre
. C'est une conséquence de 2 mini-lemmes :
Lemme 1 : si
divise
, alors il existe x dans G d'ordre
Preuve: Par définition de l'exposant, il existe x dont l'ordre est un multiple de
. Il suffit alors d'élever ce x à la bonne puissance..
Lemme 2 : si x est d'ordre a, y d'ordre b, et a et b premiers entre eux, alors xy est d'ordre ab
Preuve:
trivialement. Puis si
, alors en élevant à la puissance a, on obtient
, donc b divise ak, donc b divise k. De même, en élevant à la puissance b, on obtient que a divise k, et donc finalment que ab divise k, ce qui prouve le lemme..
Maintenant le fait qu'il existe x d'ordre
est une conséquence directe de ces 2 lemmes : on regarde la décomposition
.Par le lemme 1, pour tout j il existe
d'ordre
, et grace au lemme 2,
convient alors.
Soit donc
d'ordre
, et H le groupe engendré par
. Soit u une racine primitive
-ieme de l'unité, et
le caractere de H défini par
. On prolonge
en un caractere de G, et on note K le noyau de
. Je dis que alors, G est isomorphe à H x K. Il suffit pour cela de prouver que H et K engendrent G, et sont d'intersection triviale.
-H et K sont d'intersection triviale: Si y est dans H et dans K, alors puisqu'il est dans H, il est de la forme
, et en appliquant
, on doit donc avoir
, donc
divise k donc y=e
-H et K engendrent G : Soit z dans G. On a
, donc
, donc il existe k tel que
. Si on écrit
, alors
est évidemment dans H, et en appliquant
,
donc
donc y est dans K
Ainsi G est isomorphe à H x K ( via l'isomorphisme (x,y)->xy ), et donc à
. En réitérant ce principe sur K ( plus rigoureusement : par reccurence sur cardinal de G ), on obtient la décomposition de G ( et les histoires de divisibilité viennent du fait que l'exposant de K, qui sera le
, divise l'exposant de G qui est
)
edit: pour ta méthode Silow, je n'ai aucune idée de comment procéder ( à part apres coup bien sur ), que ce soit pour la décomposition des groupes en Silow ou la décomposition des Silow eux même..