Anneaux Z/nZ

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Joker62
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Anneaux Z/nZ

par Joker62 » 04 Mai 2010, 18:14

Haileau.

Quand je vous dis Anneaux Z/nZ
Vous me répondez quoi ?

Je cherche des applications vraiment originales et différentes des habituelles nombre premier de Dirichlet machin suite lol !

C'est pour un développement d'une 15 minutes et vraiment ça me dit trop rien :/



Joker62
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par Joker62 » 04 Mai 2010, 18:59

Bon j'ai trouvé un sympa !
Décomposition d'un groupe abélien fini en produit cyclique de quotient de Z et application au groupe multiplicatif d'un corps fini !

Another one ?

ffpower
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par ffpower » 04 Mai 2010, 20:32

La décomposition des groupes abeliens, j y ai pensé mais le prob, c'est que ca ne serait pas plus "groupe Z/nZ" que "anneau Z/nZ"?
PS: quelle est ta preuve? avec les modules?

Joker62
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par Joker62 » 04 Mai 2010, 22:05

Oui, c'est vrai que c'est plus sous-groupe...
Enfin dans le rapport du jury, ils mentionnent que l'on doit dissocier les propriétés du groupe Z/nZ et de l'anneau...

Et donc non la preuve avec les modules est triviale, même s'il faut démontrer quelques trucs assez techniques sur les modules avant...

Et donc la preuve de ce théorème (dû à Kronecker il me semble) est apparemment pas évidente sans les modules lol. C'est plus embêtant...

ffpower
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par ffpower » 04 Mai 2010, 23:10

Ok, alors moi si tu veux je connais une preuve sympa. Par contre, me souviens plus du nom exact de la référence, et en plus c'est pas un livre ultra connu ( en tout cas il fait pas parti des "classiques" ). Faute de mieux, je te posterai la preuve ici ( ou tout du moins un résumé détaillé ). Bon la de suite j'ai pas le temps, je te mettrai ca tal ou demain..

Sinon, si ils acceptent ce genre de développement, je peux aussi te proposer. Si n est premier à phi(n) ( phi=indicatrice d'Euler ), alors tout groupe d'ordre n est isomorphe à Z/nZ. Cela dit p-e que 2 développements sur les groupes, ca va commencer a faire trop..

Joker62
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par Joker62 » 05 Mai 2010, 00:44

Mais en même temps, on peut pas faire grand chose avec sa structure d'anneaux... Elle sert à rien. Bon mise à part l'irreductibilité de polynômes par passage au quotient ou truc dans le genre mais ça reste du blabla.

J'attends ta preuve pour Kronecker et si t'as une référence pour l'autre, je pourrais toujours la casée dans Groupe Fini and Cie :D

Merci ;)

Joker62
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par Joker62 » 05 Mai 2010, 11:46

Hep :)

Bon j'ai réfléchi pour une preuve qui tient la route.
Un groupe Abélien fini est produit de ses p-Sylow.

Un p-Sylow d'ordre p^n peut se décomposer sous la forme Z/(p1^n1)Z x Z/(p2^n2)Z x ... x Z/(p^nr)Z où (n1,...nr) est une partition de n

Donc en décomposant mon groupe abélien par ses p-Sylow, il suffit que je regroupe les termes de puissance maximale pour chacun des p_i premiers et j'aurais une suite de sous-groupe qui vérifie la propriété de divisibilité et fin.

Bon le problème c'est que j'arrive pas vraiment à prouver l'histoire des p-Sylow qui se décompose suivant une partition de l'entier n.

J'ai looké du côté de Bouvier-Richard qui affirme des choses sur les p-groupes mais je voudrais pas avoir trop de chose intermédiaire à démontrer lol :)

T'as pas une idée pour ce point ?

ffpower
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par ffpower » 05 Mai 2010, 13:18

Voilà la preuve que je connais : elle est basée sur la proposition ( classique ) suivante:
Si G est un groupe fini abélien, H un sous groupe, et un caractere de H ( = morphisme de H dans C*, mais je pense que tu connais ), alors se prolonge en un caractere de G.

Je passe la preuve de cette proposition ( pas très longue je te rassure ), elle est dans tout cours/livre qui parle un peu des caracteres..

Maintenant, soit G un groupe abélien. Soit l'exposant du groupe ( =ppcm des ordres des éléments du groupe, mais je pense que tu connais aussi^^ )
La premiere étape consiste à montrer qu'il existe x d'ordre . C'est une conséquence de 2 mini-lemmes :

Lemme 1 : si divise , alors il existe x dans G d'ordre
Preuve: Par définition de l'exposant, il existe x dont l'ordre est un multiple de . Il suffit alors d'élever ce x à la bonne puissance..

Lemme 2 : si x est d'ordre a, y d'ordre b, et a et b premiers entre eux, alors xy est d'ordre ab
Preuve: trivialement. Puis si , alors en élevant à la puissance a, on obtient , donc b divise ak, donc b divise k. De même, en élevant à la puissance b, on obtient que a divise k, et donc finalment que ab divise k, ce qui prouve le lemme..

Maintenant le fait qu'il existe x d'ordre est une conséquence directe de ces 2 lemmes : on regarde la décomposition .Par le lemme 1, pour tout j il existe d'ordre , et grace au lemme 2, convient alors.


Soit donc d'ordre , et H le groupe engendré par . Soit u une racine primitive -ieme de l'unité, et le caractere de H défini par . On prolonge en un caractere de G, et on note K le noyau de . Je dis que alors, G est isomorphe à H x K. Il suffit pour cela de prouver que H et K engendrent G, et sont d'intersection triviale.

-H et K sont d'intersection triviale: Si y est dans H et dans K, alors puisqu'il est dans H, il est de la forme , et en appliquant , on doit donc avoir , donc divise k donc y=e

-H et K engendrent G : Soit z dans G. On a , donc , donc il existe k tel que . Si on écrit , alors est évidemment dans H, et en appliquant , donc donc y est dans K

Ainsi G est isomorphe à H x K ( via l'isomorphisme (x,y)->xy ), et donc à . En réitérant ce principe sur K ( plus rigoureusement : par reccurence sur cardinal de G ), on obtient la décomposition de G ( et les histoires de divisibilité viennent du fait que l'exposant de K, qui sera le , divise l'exposant de G qui est )

edit: pour ta méthode Silow, je n'ai aucune idée de comment procéder ( à part apres coup bien sur ), que ce soit pour la décomposition des groupes en Silow ou la décomposition des Silow eux même..

Joker62
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par Joker62 » 05 Mai 2010, 14:26

Ah ouai sympa la preuve avec les caractères !
Bon et puis les Lemme intermédiaire sont tout de même monnaie courante...

Je me renseigne sur l'histoire du prolongement de caractère et j'vais voir un prof pour les p-Sylow et j'tiens au courant :)

Merci en tout cas ;)

Nightmare
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par Nightmare » 05 Mai 2010, 15:20

Salut !

Joker62 a écrit:Bon j'ai réfléchi pour une preuve qui tient la route.
Un groupe Abélien fini est produit de ses p-Sylow.


Bon je ne parle pas du reste, déjà ceci ne me parait pas évident !! Quel est l'isomorphisme naturel? Je vois bien mais je n'arrive pas à me persuader qu'elle est surjective.

Joker62
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par Joker62 » 05 Mai 2010, 15:28

Comme c'est Abélien tout ses sous-groupe son distingués et donc ses p-Sylow sont unique et normal

L'application que tu donnes est bien un morphisme.
On montre uniquement l'injectivité parce que les groupes ont le même ordre.

g1g2...gn = 1 => gi = g1^(-1)...gn^(-1) ( sans le gi bien sûr )
L'ordre de gi divise Card(Gi) avec Gi le p-Sylow en question

Pour tout k (gk^(-1))^Card(Gk) = 1 donc l'ordre de gi divise le produit des produit des Card(Gk) (pour k != i)

Et comme c'est premier entre eux, gi est d'ordre 1.

C'est dans le Ortiz si tu veux.

Nightmare
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par Nightmare » 05 Mai 2010, 15:45

Ok, c'est ce que j'avais en tête. Et pas de surjectivité dans ton bouquin?

Sauf erreur, fixé dans G, si je note , il suffirait de prouver que si avec a et b premiers entre eux alors .

Joker62
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par Joker62 » 05 Mai 2010, 16:02

Na pas de surjectivité. Les deux groupes de l'homomorphisme ont même cardinal.
Et donc Je vois pas ce que tu veux pour la suite.
Y'a un mélange dans les éléments de G et de Z nan lol ?

 

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