Equations et suite

[KLM]

Bonjour à tous, en ce moment nous traitons le chapitre sur les suites, et on a un petit exercice à faire. Il faut résoudre cette équation dans R privé de 1 (j'ai oublié de le marquer mais 1 ne fait pas partit car la division par 0 n'existe pas). Alors, je me doute qu'il faut utiliser les suites.
Donc j'ai une petite idée, mais j'aurai besoin d'aide, s'il vous plait.



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Alors, j'ai penser à transformer tout cela en suite.

Donc cela donnerait avec des n:

1 + (n+1/n-1) + (n+1/n-1)² + (n+1/n-1)^3 = 0

Et à partir de là, on remarque que toute l'expression (n-1/n+1) + (n-1/n+1)² + (n-1/n+1)^3 correspond à une suite géométrique de premier terme u1= (n-1/n+1).

On aurait donc, u indice n+1 = u indice n x q^n avec q= (n-1/n+1)

Cela marche car si on prend n=1
On a u2= u1 x q^1 , ça marche.

Donc on peut calculer la somme u1+u2+u3 grâce à la formule.
Ainsi, on aurait S= premier terme x (1- raison^nb de terme / 1-raison)

Donc S= u1 x ( 1- q^3 / 1-q)
= (n+1/n-1) x (1 - (n+1/n-1)^3 / 1- (n+1/n-1) )

A partir de ce moment, je suis bloqué, car le calcul reste quand même difficile.
J'aimerais votre aide, merci

[KLM]

Quelqu'un?

[KLM]

SVP, quelqu'un pourrait répondre?

[oscar]

Pose ( n+1)/ (n-1) = a
(1 - a³) / (1-a) =( 1 - a) ( 1+ a + a²)/ (1-a)
= 1 + a + a²

Continue...

[muse]

Deja ne remplace pas ton x par n, x est dans R et n est dans N. Ce n'est pas la bonne suite qu'il faut voir

Ensuite je dirai que ton premier terme est 1 et pas ce que tu as dit
Si on prend la suite suivante on a:



On voit bien que le premier terme est 1

Apres tu utilises ta formule pour la somme de termes géométrique mais cette fois le premier terme est 1 et il est 4 termes donc la puissance est 4.

Essaie tout sa on t'aidera après

[KLM]

Pose ( n+1)/ (n-1) = a
(1 - a³) / (1-a) =( 1 - a) ( 1+ a + a²)/ (1-a)
= 1 + a + a²

Continue...

Je n'ai pas compris pourquoi tu met (1-a³)/(1-a) ?
L'expression de départ, c'est:

1 + (x+1/x-1) + (x+1/x-1)² + (x+1/x-1)³

Et sinon, tu marques (1-a)(1+a+a²), ce serait pas plutôt, (1-a)(1-a)² donc (1-a)(1-2a+a²)?

Deja ne remplace pas ton x par n, x est dans R et n est dans N. Ce n'est pas la bonne suite qu'il faut voir

Ensuite je dirai que ton premier terme est 1 et pas ce que tu as dit
Si on prend la suite suivante on a:



On voit bien que le premier terme est 1

Apres tu utilises ta formule pour la somme de termes géométrique mais cette fois le premier terme est 1 et il est 4 termes donc la puissance est 4.

Essaie tout sa on t'aidera après

Merci muse, explication claire.

Donc la suite et bien définie par Un = (n+1/n-1)^n de premier terme u0=1

La somme S est donc égale à: premier terme x (1- raison^nb de terme / 1-raison)

Donc 1 x (1 - raison^4 / 1 - raison)
Le problème ici, c'est que je ne connais pas la raison, c'est quoi ici?

[muse]

Tu as encore mal ecris la suite. C'est



Et donc la raison est plus visible la.
Je te donne la réponse pcq c'est etonnant de voir un x dans une raison.
La raison est:


(et le premier terme est 1 car n'importe quoi puissance 0 vaut 1)

Apres tu utilises ta formules et tu met =0 (maintenant tu as qqchose avec des x =0 )

[KLM]

D'accord, donc la Somme S, serait:

S= premier terme x (1- raison^nb de terme / 1-raison)

= 1 x (1- (x+1/x-1)^4 /1- (x+1/x-1) )

= (1- (x+1/x-1)^4 /1- (x+1/x-1) )

On doit donc résoudre désormais: (1- (x+1/x-1)^4 /1- (x+1/x-1) ) = 0

Et là, je pense qu'on peut appliquer le fait que pour qu'un quotient soit nul, il faut et il suffit qu'un des termes soit nul donc deux solutions:

1 - (x+1/x-1)^4 = 0

Et 1- (x+1/x-1) = 0
Mais je ne suis pas très sûr de ça.

[muse]

pour qu'une fraction soit nulle il faut et il suffit que le numérateur soit nul.
Si le denominateur est nul alors tu as 1/0 ce qui n'existe pas....
Donc tu as juste
1 - (x+1/x-1)^4 =0
a résoudre

Je vais partir je te donne une indication
1 - (x+1/x-1)^4 =
utilise l'identité remarquable

[KLM]

pour qu'une fraction soit nulle il faut et il suffit que le numérateur soit nul.
Si le denominateur est nul alors tu as 1/0 ce qui n'existe pas....
Donc tu as juste
1 - (x+1/x-1)^4 =0
a résoudre

Je vais partir je te donne une indication
1 - (x+1/x-1)^4 =
utilise l'identité remarquable

C'est égal à [1+ (x+1/x-1) ] [ 1 - (x+1/x-1) ] = 0

Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un des facteurs au moins le soit donc deux solutions:

1+ (x+1/x-1) = 0
Soit (x+1/x-1) = -1
Soit x+1 = -1(x-1)
2x = 0
x= 0/2 = 0

Première solution trouvée, x+0

Et: 1 - (x+1/x-1) =0
La par contre, je n'arrive pas à résoudre ça, car les x disparaissent à la fin, c'est bizzare.


EDIT: Je me suis trompé, je vais recommencer

[KLM]

[1+ (x+1/x-1)² ] [ 1 - (x+1/x-1)² ] = 0

Voilà, l'équation à résoudre.
On a donc deux solutions

1+ (x+1/x-1)² = 0

Donc (x+1/x-1)² = -1 . Or un carrée est toujours positif, non?

Et 1 - (x+1/x-1)²

Donc (x+1/x-1)² = 1
Je vois que la solution est 0, car 0+1/0-1 = -1 et (-1)²= 1 mais comment le "démontrer" en résolvant l'équation pour de vrai?

[muse]

(x+1/x-1)² = 1
(x+1)²/(x-1)² = 1
(x+1)²=(x-1)²

tu developpes les carrés tu simplifies :)

[KLM]

Merci :)

Donc, l'unique solution de cette équation est x=0 ?