Carré parfait

[lehder]

Bonjour,

Comment montrer qu'un nombre est un carré parfait???

Et merci.

[MathMoiCa]

En l'écrivant sous la forme d'un carré :+++:

Et si tu avais un exemple plus précis... ?


M.

[lehder]

Par exemple, soient x,y deux nombres naturels tel que , comment montrer que x est un carré parfait????

[Ericovitchi]

tel que xy/(x²+y&-x) quoi ? est un carré parfait ?

[lehder]

tel que xy divise

[Zweig]

T'es sûr qu'il ne faille pas montrer xy|(x^2 + y^2 - x) => x^2 + y^2 - x est un carré parfait ?

[Zweig]

Sauf erreur, on a le résultat suivant :



Je rédige ma démonstration.

[Zweig]

On considère l'ensemble suivant :



Montrons que .

Parmi tous les couples de , considérons le couple qui minimise la somme . Sans perte de généralité, on peut toujours supposer (*). Considérons l'équation du second degré suivante (obtenue en "cassant" la fraction de S) :



On sait que vérifie cette dernière. On cherche à exprimer la deuxième racine . D'après les relations de Viète, on a :



En particulier, est un entier. De plus, d'après notre équation, on a :



Ainsi . Mais , d'où , ce qui contredit la minimalité de . Ainsi .

, d'où . En particulier (et ) est bien un carré parfait.

(*) On peut car le fait d'échanger et n'affecte pas le signe du numérateur. De plus, si on considère , alors on choisit de sorte que soit maximale.

[Ben314]

Tient, c'est bizare, perso, il me semblait bien que, lorsque x=1 et y quelconque on a xy qui divise x²+y²-x...

[lehder]

Très grand merci.

[Zweig]

J'avais pas fait gaffe à ce cas .... :cry: Dans ce cas-là, où est mon erreur ?

[Doraki]

Sans perte de généralité, on peut toujours supposer (*).
(*) On peut car le fait d'échanger et n'affecte pas le signe du numérateur. De plus, si on considère , alors on choisit de sorte que soit maximale.

Mais le fait d'échanger x et y casse la relation "xy divise x²+y²-x", nan ?

[Zweig]

Finalement, après coups, oui, ce n'est pas bon. En fait il faut traiter séparément les deux cas.

[Ben314]

Aprés quelque calculs, je trouve qu'effectivement on doit avoir x=d² et, parmi les différentes solutions (il y en a d'autres) si d distinct de 1 :
y=d ou bien y=d(d-1) ou bien y=d(d+1) ou bien y=d(d-1)(d+1)

P.S. : la méthode de résolution est assez "standard", on pose d=pgcd(x,y) puis on regarde...

[Doraki]

Moi j'ai refait ce qu'a dit zweig, et ça fait une preuve qui dit que si on a une solution où x n'est pas un carré alors on a une autre solution avec un x plus petit qui n'est toujours pas un carré.

[Ben314]

ça me semble bien compliqué dans un tel cas :

Si d=pgcd(x,y) alors x=dx' , y=dy' où pgcd(x',y')=1.
L'équation devient dx'y' | dx'²+dy'²-x' qui implique que d|x' mais aussi que x'|dy'² c'est à dire (Lemme de Gauss) que x'|d.
On a donc x'=d et x=dx'=d².

[Doraki]

En effet ça va tout seul, comparé à l'autre étude.