Prolongement par continuité

[lehder]

Bonjour,

J'ai une question: quel est le but de prolonger une fonction par continuité en un point?????

Et merci.

[Inari]

Souvent, de faire comme si elle était continue sur tout un intervalle contenant le point, afin d'appliquer des théorèmes ou propriétés qui demandent la continuité sur un intervalle.

[Hiphigenie]

Bonjour,

Cela sert également pour déterminer la limite de la fonction en ce point en calculant la limite de la fonction prolongée en ce point qui est une fonction continue.

[Arnaud-29-31]

Oulaaa ... Attention c'est le contraire, lorsqu'il y a un "trou" dans une fonction, c'est a dire un 'x = a' ou elle n'est pas défini, si la limite en 'a' est finie et que la limite à droite est égale à la limite à gauche alors on peut conclure à la possibilité d'un prolongement par continuité de f en posant f(a) égal à la limite en question.

[Hiphigenie]

Oulaaa ... Attention c'est le contraire, lorsqu'il y a un "trou" dans une fonction, c'est a dire un 'x = a' ou elle n'est pas défini, si la limite en 'a' est finie et que la limite à droite est égale à la limite à gauche alors on peut conclure à la possibilité d'un prolongement par continuité de f en posant f(a) égal à la limite en question.

Je suis navré (ou bien nous disons la même chose ? :happy2: ) mais la définition de prolongement d'une fonction est "indépendante" de la notion de limite.
La notion de limite utilise le prolongement d'une fonction. Cette notion de limite vient bien après la notion de prolongement.

Par définition, si f est une fonction définie sur A et que a € R, alors prolonge f en a si et seulement si est définie sur A U {a} et que (x) = f(x).

On démontrer ensuite que : il existe une fonction , prolongement continu de f en a tel de (a) = b,
si et seulement si avec a et b réels.

Je ne crois donc pas m'être trompé en écrivant :

Cela sert également pour déterminer la limite de la fonction en ce point en calculant la limite de la fonction prolongée en ce point qui est une fonction continue.

J'aurais peut-être dû écrire : "en calculant la limite de la fonction prolongée en ce point si cette fonction prolongée est une fonction continue."

[Dihtbscii]

Oui mais ici la question porte sur le prolongement "par continuité" donc l'étude des limites a deja été faite... . Mais bon on chipotte.

[Nightmare]

Je suis navré (ou bien nous disons la même chose ? :happy2: ) mais la définition de prolongement d'une fonction est "indépendante" de la notion de limite.
La notion de limite utilise le prolongement d'une fonction. Cette notion de limite vient bien après la notion de prolongement.]

Il faut que tu m'expliques comment on peut prolonger quelque chose sans savoir auparavant ou est son extrémité...

[Hiphigenie]

Toute fonction est égale à son prolongement en chaque x de son domaine de définition! Cela paraît évident !!!

Personne ne parle de prolongement continu. Il n'est donc pas question de savoir quoi que ce soit sur la fonction...

Est-ce bien expliqué ? :we:

[Nightmare]

Est-ce bien expliqué ? :we:

Oui :lol3:

En fait je disais juste que pour faire un prolongement, il faut calculer une limite au sens ou l'on doit savoir ou prolonger. Autrement dit, chercher les points adhérent. Mais nous sommes d'accord qu'a posteriori un prolongement quelconque ne se fait pas forcément sur un calcul de limite sur l'application elle même !

[Hiphigenie]

Autrement dit, chercher les points adhérent

Je dirais plutôt les points d'accumulation pour éviter les points isolés... :lol4:

Tout cela pour ceci ...

Bonjour,

J'ai une question: quel est le but de prolonger une fonction par continuité en un point?????

Et merci.

Qu'attend lehder comme réponse ? :happy2:

[Arnaud-29-31]

Mdr Oui tout cela pour ceci.

Aller je me lance : Le but est d'avoir une fonction non trouée ! ^^

Bon je me permet de glisser un exemple : la fonction (souvent appelée sinus cardinal)

Il est clair que cette fonction n'est pas définie en zéro, il n'y a donc pas de point d'abscisse 0
Or si on la regarde :



On voit qu'il serait bête de ne pas se payer le luxe de rajouter le point (0,1)

J'espère que ca répond à la question ...