Somme de deux v.aléatoires fct. de masse

[Fractalus]

Bonjour,
je sais que cette question peut sembler simple pour plusieurs et elle l'est probablement, mais je suis assez embêté et peut-être mélangé dans mes notions.
Voici ce que j'aimerais savoir:

Soit X1, X2 un échantillon de taille n=2 issu d'une distribution ayant pour fonction de masse si x=1,2,3.

Determiner la fonction de masse de Y = X1 + X2.
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Hypotheses:

a) X1, X2 un echantillon X1 et X2 sont des v.a independantes.

b) fonction de masse f(x) =

c) Comme Y = X1 + X2 son support est Y = {2,3,4,5,6}

Cependant comme la fct. de masse de x1 et de x2 est la meme est-ce qu'il faut faire : ?
ou bien
comme elles sont independantes:
?

Pourriez-vous m'aider s'il-vous-plait?

[Inari]

Coucou. :)

Quand tu as peu de valeurs, comme ça, j'te conseille de faire valeur par valeur. Bon perso j'ai pas vu les choses avec des fonctions de masse, mais à priori, ça veut dire que pour X1 comme X2 (qui sont indépendantes identiquement distribuées), tu as :

P(X=1)=1/6, P(X=2)=2/6, P(X=3)=3/6, la somme fait bien 1 c'est cool.

Y=X1+X2, donc fais cas par cas, sur un exo comme ça t'as plus vite fait :

Y=2 ssi X1=1 et X2=1, donc P(Y=2)=P(X1=1,X2=1)=P(X1=1) x P(X2=1) (par indépendance), donc 1/36
Y=3 ssi X1=1 et X2=2 ou X1=2 et X2=1 donc P(Y=3)=P(X1=2) x P(X2=1) + P(X1=1) x P(X2=2), donc 2 x (2/6 x 1/6)=4/36
Y=4 ssi... et tu continues à faire l'éventail des possibilités. Assure toi d'avoir la somme des probabilités de Y qui font 1 à la fin.

etc. :)

[Fractalus]

Ceci va me permettre d'avoir une fonction de masse (la fonction de masse est la meme chose que la fonction de densite mais avec des v.a discretes au lieu de v.a continues)? Parce que la je fais une somme de constantes en faisant fy(2)+fy(3)+fy(4)+fy(5)+fy(6).

Si on avait a etendre avec un support qui va de 2 a n avec des x1 et x2 qui nous permettent de le faire (c-a-d que x1 peut etre 1,2,3,...,n) comment est-ce qu'on calcul la fct. de masse dans ce cas?

[Inari]

Je m'y perds un peu, j'ai jamais utilisé de fonction de masse, même si je vois à quoi ça correspond je ne connais pas toutes les propriétés qu'on peut y appliquer.

Ce qui est certain, c'est qu'en calculant valeur par valeur, et limite en faisant un dessin, t'auras une idée de son allure. Ce qui est certain aussi, c'est que y/3 peut pas aller parce que rien que P(Y=6)=6/3=2... et y²/36, P(Y=6)=1... donc ça colle pas.

Y'a aucune propriété qui permette d'avancer qu'avec 2 indépendantes, la densité du produit soit le produit des densités. Donc pour les fonctions de masse qui ne sont que des restrictions sur N, y'a pas de raison qu'il en soit autrement.

J'essaye d'y réfléchir un peu, si personne d'autre te répond d'ici là. ^^

[Fractalus]

Ok, je suis d'accord que ça fonctionne avec ta méthode, c'est ce que je pensais faire au début, mais je voulais une formule en x alors je cherchais peut-être quelque chose de trop compliqué!

Par la suite, si je veux déterminer l'espérance je peux bien sûr la trouver facilement en multipliant par la fonction de masse tous les éléments du support de Y.

Cependant, je dois (oui je dois parce que c'est ce qui m'est demandé) trouver deux façons d'obtenir l'espérance.

On a déjà une méthode.
Pour la deuxième,
il existe un théorème qui dit:

Si X1, X2 sont 2 variables aléatoires ayant une fonction de masse (ou de densité) conjointe f(x1,x2) et si Y = u(X1,X2) admet g(y) comme fonction de masse (ou de densité), alors

E(Y) =

Je peux facilement trouver la fonction conjointe etant donne qu'on sait que X1 et X2 sont independantes, mais (et c'est pour ca que je pensais qu'il me fallait une formule close pour la fonction de masse de y) je ne suis pas certain comment trouver u(x1,x2) dans ce cas.

Sais-tu quoi faire?

[Inari]

Pour la fonction de masse, j'm'y perds, désolé... :/ J'ai jamais utilisé cet outil, et je sais vraiment pas quelles sont ses propriétés, elle doit en avoir plus que la densité vu que c'est une restriction à N de densité.

Pour tes 2 façons de calculer l'espérance, je pense simplement que tu peux dire en effet que :

- E(Y) c'est la somme pour k allant de 2 à 6 des k*P(Y=k) (ce que tu appelles somme sur le support de la fonction de masse).
- E(Y), c'est E(X1)E(X2) par indépendance, que tu calcules de la même façon.

A mon avis, pas besoin de ta formule, je pense que c'est ça qu'on te demande. Toutefois, si tu te demandes ce qu'est la fonction U, c'est l'opérateur somme : En fait c'est ce qui lie X1 et X2 à Y, tu sais que Y=U(X1,X2)=X1+X2.

Désolé d'être un peu léger... ^^"