Fonctions convexes

[ludo56]

Bonjour à tous j'ai encore une fois un petit problème!

Alors soit f une fonction définit sur un intervalle I de et à valeurs dans .
Je viens de voir que si f est convexe alors f est dérivable à droite et à gauche en tout point intérieurs à I.

Par ailleurs dire que f est dérivable en un point intérieur à I(a gauche et a droite) est équivalent à dire que f est dérivable en ce point (sauf erreur)

J'en déduis que si f convexe alors f est dérivable en tout point intérieur à I..

Et pourtant la fonction x-->|x| sur [-1,1] est convexe mais pas dérivable en 0..

Merci pour votre aide.

[Ben314]

Non, car dire que f est dérivable à droite et dérivable à gauche en x0 ne signifie absolument pas qu'elle est dérivable en x0.
Par exemple x->|x| est dérivable à droite en 0 (nombre dérivé à droite =1) et aussi dérivable à gauche en 0 (nombre dérivé à gauche =-1).
Vu que 1 et distinct de -1, cela signifie qu'elle n'est pas dérivable en 0.

[greg78]

Et c'est d'ailleurs la fin de la propriété que tu énonces, car certes elle dit que la fonction est dérivable à gauche et à droite en tout point mais elle dit aussi que l'ensemble des points où elle n'est pas dérivable (ie dérivée à gauche différente de dérivée à droite, comme pour x->|x|) est dénombrable

[ludo56]

D'accord!
Ce qui m'a induit en erreur c'est le Gourdon page 68 :" si a à l'intérieur de I f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et dérivable à droite en a"

Même chose dans un bouquin de Karine Madere..
C'est bizarre quand même c'est bien des erreurs ou c'est moi qui interprette mal?

[greg78]

Tu es sur qu'il n'y a pas en plus l'hypothèse que les dérivées à droite et à gauche sont égales ? Car sinon la fonction est seulement par morceaux

[ludo56]

Ben non aucune hypothèses de plus.

[alavacommejetepousse]

des plumes et du goudron pour gourdon ?

[Ben314]

OUI !!! (pour les plumes et le goudron) :
Incrédule, je suis allé ouvrir le Gourdon p68 et il y a effectivement cette... énoooorme boulette (juste aprés la def. habituelle de la dérivée, de la dérivée à droite et de la dérivé à gauche : donc c'est pas un problème de "contexte") !!!