Soient a et b deux nombres réels...

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Max76
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Soient a et b deux nombres réels...

par Max76 » 26 Avr 2010, 15:37

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour un dm pas facile mais déterminant pour mon passage en 1ère S...

Voici le dm avec mes réponses...

Soient a et b deux nombres réels.

1) Développez (x-a)(x-b). En déduire que a et b sont les solutions de l'équation x²-(a+b)x+ab = 0

Ma réponse :
(x-a)(x-b)=x²-bx-ax+ab
On factorise :
x²-(b+a)x+ab

2) Trouver c et d tels que 3 et -7 soient solution de x²+cx+d=0

Je ne comprend pas la question... Faut il remplacer c et d pas 3 et -7 ?
Je vois une identité remarquable dans cette expression... Mais je ne sais pas comment l'exploiter.

3) Mettre sous forme canonique puis factoriser x²-8x+24 = 0

Ma réponse :
x²-8x+24
=x²-8x+b²= (a-b)²
=x²-8x+4²=(x-4)²
Donc :
x²-8x=(x-4)²-16
On remplace :
(x-4)²-16+24
=(x-4)²+8

Bizarre je ne peux même pas à cause du "+" utiliser a²-b²= (a+b)(a-b)

4) Soit un triangle rectangle dont les côté de l'angle droit ont pour longueurs a,b et l'hypoténuse, c. Exprimer c en fonction de a et b.

Ma réponse :
c²=a²+b²

5) On suppose que le périmètre du triangle est 12 cm. En déduire que a+b=8cm

6) On suppose que l'air du triangle est 20 cm². En déduire que ab=10 cm².
En déduire que ab=10 cm²

7) En déduire a,b puis c.

Merci pour votre aide



oscar
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par oscar » 26 Avr 2010, 16:00

Connais-yu la méthode la somme et produit
Soit ax²+bx +c= 0

x² -S x +P=0
= -b/a et P = c/a

pour 5 et -7, S = -2 et P = -35

Donc 5 et -7 sont racines de x² +2x -35 =0

Pour 3.....-7.;S =.... P=.....
3 et -7 sont racines de : x²

Max76
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par Max76 » 26 Avr 2010, 16:45

oscar a écrit:Connais-yu la méthode la somme et produit
Soit ax²+bx +c= 0

x² -S x +P=0
= -b/a et P = c/a

pour 5 et -7, S = -2 et P = -35

Donc 5 et -7 sont racines de x² +2x -35 =0

Pour 3.....-7.;S =.... P=.....
3 et -7 sont racines de : x²


J'ai du mal à saisir... Je n'ai vraiment pas compris :S Peux tu me ré expliquer plus clairement. Que représente c, a et b ? Comment sait on leur valeur... Je n'ai pas du tout saisie

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 16:57

oscar a écrit:Connais-yu la méthode la somme et produit


En France, c'est en première que l'on étudie le second degré, plus précisément l'équation du second degré, la factorisation d'un trinôme du second degré. Si tu l'ignores, tu aurais quand même dû remarquer que les questions de Max76 montrent clairement qu'il ne connaît pas les équations du second degré. Son problème est typiquement un problème de seconde (en France) où l'on prépare le lycéen à l'étude complète du second degré qui aura lieu l'année suivante.

Par conséquent, je ne crois pas que ta réponse soit d'une grande utilité pour Max76 !



Max76 a écrit:Je ne comprend pas la question... Faut il remplacer c et d pas 3 et -7 ?
Je vois une identité remarquable dans cette expression... Mais je ne sais pas comment l'exploiter.


Max76, la question 1 te fait remarquer que puisque les solutions de l'équation (x-a)(x-b)=0 sont à l'évidence a et b, puisqu'un produit de deux facteurs ne peut être nul que si l'un des deux facteurs est nul, d'une part, et que (x-a)*(x-b)=x²-(a+b)x+ab, d'autre part, les solutions de l'équation x²-(a+b)x+ab = 0 sont exactement les mêmes que les solutions de l'équation (x-a)(x-b)=0, c'est-à-dire a et b !

La question 2 te demande de trouver c et d de manière que x²-cx+d=0 ait 3 et -7 comme solutions. Il me semble que c'est évident ; puisque a et b sont les solutions de l'équation x²-(a+b)x+ab = 0, et ceci quels que soient les valeurs de a et b, alors 3 et -7 sont les solutions de l'équation x²-(3+(-7))x+3*(-7)=0, c'est-à-dire de l'équation x²+4x-21=0 !

Non ?

Max76
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par Max76 » 26 Avr 2010, 17:09

Merci pour ta réponse claire. Donc si j'ai bien tout compris comme on sait que a et b sont solution quelque soit leur valeur de x²-(a+b)x+ab=0 on remplace alors a et b et par 3 et -7 et on trouve alors x²+4x-21. Mais x²+4x-21 n'est pas la même forme que x²+cx+d il y a un signe qui n'est pas le même...

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 17:20

Max76 a écrit:Merci pour ta réponse claire. Donc si j'ai bien tout compris comme on sait que a et b sont solution quelque soit leur valeur de x²-(a+b)x+ab=0 on remplace alors a et b et par 3 et -7 et on trouve alors x²+4x-21. Mais x²+4x-21 n'est pas la même forme que x²+cx+d il y a un signe qui n'est pas le même...


Mais si ! Si c=4 et d=-21 alors ton équation s'écrit bien x²+cx+d=0 !

P.S. On ne te demande pas de trouver c et d positifs ! D'ailleurs, s'il y avait cette contrainte, il n'y aurait pas du tout de solution !

Une autre façon de trouver (qui n'est pas celle que te suggère l'exercice, mais qui permet de vérifier !) :

Si 3 est solution de x²+cx+d=0 alors, 3²+3c+d=0, soit 9+3c+d=0
Si -7 est solution de x²+cx+d=0 alors, (-7)²-7c+d=0, soit 49-7c+d=0

Tu dois donc trouver c et d tels que :

3c+d= -9
-7c+d= -49

Ce système, linéaire lui, n'a effectivement qu'une seule solution : c=4 et d=-21

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 17:24

P.S. Je doute fort que ce soit oscar, ou qui que ce soit d'autre que toi, Max76, qui ait jugé ton problème "très intéressant" ! Il est d'usage que ce ne soit pas l'auteur d'un fil qui se décerne à lui-même un satisfecit ! Merci d'éviter à l'avenir de faire cela dans l'unique but d'avoir beaucoup de réponses !

Max76
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par Max76 » 26 Avr 2010, 17:30

Merci tout de même pour ta réponse même si je ne comprend pas bien ce que tu me reproche dans ton PS... Et si tu as eu l'impression que je me suis lancé des lauriers ce n'était pas mon intention j'ai au contraire très peu confiance en moi... On m'explique j'écoute et j'essaie alors de communiquer ce que j'ai compris à celui qui m'a expliquer...
Tu as des idées pour les autres question (5,6 et 7 ) ?

EDIT: Donc pour la question 2 c doit être égal à 4 et d à -21 ?

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 17:58

Max76 a écrit:(x-4)²-16+24
=(x-4)²+8

Bizarre je ne peux même pas à cause du "+" utiliser a²-b²= (a+b)(a-b)

Ce n'est pas bizarre ! Des identités remarquables, tu en connaîtras plusieurs, et rien ne dit que les identités remarquables que tu connais seront toutes utilisées, à chaque fois, dans tous les exercices que tu auras à faire !!!

Tu ne peux pas utiliser l'identité remarquable "a²-b²= (a+b)(a-b)" ! Ben oui, et alors ?

Max76 a écrit:Exprimer c en fonction de a et b.

Ma réponse :
c²=a²+b²


Moi je dirais : puisque je sais que c est positif !
Se contenter d'écrire c²=a²+b² ce n'est pas "exprimer c en fonction de a et b" !
Max76 a écrit:5) On suppose que le périmètre du triangle est 12 cm. En déduire que a+b=8cm

Je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé ! La seule connaissance du périmètre ne permet pas de déterminer la somme a+b.

Par contre, la connaissance du périmètre et de l'aire permet de déterminer a+b et ab en même temps, puis ensuite a,b et c.

Mais les nombres indiqués par l'énoncé semblent incohérents ! Es-tu certain d'avoir correctement recopié l'énoncé ? Vérifie !

Max76
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par Max76 » 26 Avr 2010, 18:06

Pour la question 5 oui j'ai vérifié c'est bien ça. On suppose que le périmètre du triangle est 12 cm . En déduire que a+b=8cm. Et le reste de l'énoncé est le bon...

Pour la 3 après avoir trouvé (x-4)²+8 on ne peut plus alors rien faire si ?

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 18:35

Max76 a écrit:Pour la 3 après avoir trouvé (x-4)²+8 on ne peut plus alors rien faire si ?

Oui ! On ne peut pas factoriser !
J'avais mal lu ! On te demande de mettre sous forme canonique, puis de factoriser ! Tu as mis ta formule sous forme canonique (x+4)²+24 ! Bien ! Mais il est impossible de factoriser !

Si tu as bien recopié l'énoncé (vérifie encore !) alors c'est qu'il y a une faute dans l'énoncé ! Car il est impossible de factoriser sous la forme (x-a)(x-b) avec a et b réels !
Max76 a écrit:Pour la question 5 oui j'ai vérifié c'est bien ça. On suppose que le périmètre du triangle est 12 cm . En déduire que a+b=8cm. Et le reste de l'énoncé est le bon...


Si le périmètre vaut 12, alors : a+b+c=12
Et comme ,...


donc :





Tout ce que tu peux trouver, c'est donc une relation entre (a+b) et ab.

Si donc on te dit, en plus, que l'aire du triangle vaut 20, comme cette aire est aussi égale à ab/2, cela se traduit par : ab/2=20, donc ab=40 ! (et pas 10 ; encore une erreur !)

Alors 2ab-24(a+b)+144=0 peut se transformer, en remplaçant ab par sa valeur désormais connue, 40, en :

80-24(a+b)+144=0


Mais tout cela est bien inutile ! En première, l'an prochain, tu apprendras à résoudre ce type d'équation et tu pourras affirmer que cette équation-là n'a pas de solutions, ce qui conforte mon idée qu'il y a des erreurs dans l'énoncé !

Désolé ! Je ne peux rien dire de plus !

A l'impossible, nul n'est tenu ! Si ton énoncé est parfaitement identique à ce que tu as écrit, à la virgule près, alors ce problème n'a pas de solution ! Cela arrive, bien sûr, mais ici, je pense que c'est tout simplement une erreur dans l'énoncé, car le but de l'exercice est bel et bien de trouver des solutions !

Sauf erreur de ma part...

Max76
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par Max76 » 26 Avr 2010, 18:40

Merci pour cette réponse détaillée. J'ai vérifié et revérifié il n'y pas d'erreur... Le prof a pu se tromper... Merci encore ! Donc c en fonction de a et b ce n'est pas c²=a²+b² ? C'est pourtant une règle que j'ai appris

Quidam
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par Quidam » 26 Avr 2010, 20:10

Max76 a écrit:Merci pour cette réponse détaillée. J'ai vérifié et revérifié il n'y pas d'erreur... Le prof a pu se tromper... Merci encore ! Donc c en fonction de a et b ce n'est pas c²=a²+b² ? C'est pourtant une règle que j'ai appris


Si tu l'as apprise comme cela, tu a fait erreur.

La relation c²=a²+b² est toujours vraie si a et b sont les longueurs des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle et c la longueur de son hypoténuse. Tu as appris et retenu cette relation ! Bravo !

Si on te demande de donner c en fonction de a et b il faut écrire c=... Donner c²=a²+b² à la place, c'est donner c² en fonction de a et b ! Pas c ! C'est une question de logique !

Si, dans un problème tu trouves qu'un résultat R est tel que R²=4, cela ne suffit pas à trouver R. Avec R²=4 tu sais seulement que le carré de R est égal à 4, donc R est soit égal à 2 soit à -2. Dire R²=4 ce n'est pas donner R , c'est seulement donner R² !

Max76
Membre Naturel
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par Max76 » 27 Avr 2010, 13:12

Merci pour toutes ces réponses détaillées et claires ! Grâce vous je vais pouvoir finir ce DM ! Merci encore

 

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