J'ai une question rapide de topologie dans
Quel est le moyen le plus simple de montrer que
J'ai commencé comme ça :
On a
Donc
On a de plus
Et
Il suffirait de montrer que
(Topologie) Fermé dans RxR
17 messages
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(Topologie) Fermé dans RxR
par mmestre » 25 Avr 2010, 11:25
Bonjour,
J'ai une question rapide de topologie dans
:
Quel est le moyen le plus simple de montrer que\in\mathbb{R}^{2};xy=1,y>0\right\})
est fermé dans ?
J'ai commencé comme ça :
On a
où \in\mathbb{R}^{2};xy=1\})
et \in\mathbb{R}^{2};y>0\})
.
Donc=\left(\mathbb{R}^{2}\backslash A\right)\cup\left(\mathbb{R}^{2}\backslash B\right))
.
On a de plus\in\mathbb{R}^{2};xy\neq1\right\})
.
Et\in\mathbb{R}^{2};y\leq0\right\})
.
Il suffirait de montrer que
et 
sont ouverts dans , mais comment procéder ? J'ai beau regarder dans les yeux en me concentrant beaucoup, plus je le regarde et plus il m'a l'air... fermé :hum:
J'ai une question rapide de topologie dans
Quel est le moyen le plus simple de montrer que
J'ai commencé comme ça :
On a
Donc
On a de plus
Et
Il suffirait de montrer que
par Nightmare » 25 Avr 2010, 11:34
Salut !
B est bien ouvert comme image reciproque de l'ouvert Rx]0;+oo[ par la projection continue (x,y) -> y !
B est bien ouvert comme image reciproque de l'ouvert Rx]0;+oo[ par la projection continue (x,y) -> y !
par Nightmare » 25 Avr 2010, 11:36
Sinon, une maniere ici assez simple est de passer a la metrique, en considerant (xn,yn) une suite convergente d'elements de Z, on montre rapidement qu'elle converge dans Z
par ffpower » 25 Avr 2010, 11:40
Je dirais que le plus rapide c'est de justifier que \in\mathbb{R}^{2};xy=1,y\geq 0\right\})
, comme ça on se ramene à l'image réciproque d'un fermé
par Nightmare » 25 Avr 2010, 11:43
Sinon on utilise le fait que le graphe d'une fonction continue est ferme (ici, la fonction inverse sur R+)
:happy3:
:happy3:
par Heure » 25 Avr 2010, 11:48
A mon avis le plus simple, c'est d'utiliser le théorème des images réciproques.. Voit Z comme tel..
par ffpower » 25 Avr 2010, 11:59
Nightmare a écrit:Sinon on utilise le fait que le graphe d'une fonction continue est ferme (ici, la fonction inverse sur R+)
:happy3:
Tu cherches le fight de la démo la plus rapide hein? :arme:
Sauf que ce que tu énonces est faux. Genre le graphe de la fonction nulle sur ]0,1[, il est pas fermé :langue:
par mmestre » 25 Avr 2010, 12:03
Merci à tous pour vos réponses si rapides !
@Nightmare : avez-vous bien dit que B est ouvert ? Dans ce cas, est fermé et.. je suis bien embêté (ne fallait-il pas montrer que ce dernier était ouvert ?)
@ffpower, Heure : me suggerez-vous d'écrire Z comme l'image réciproque d'un fermé dans par une application continue ? Est-ce vraiment plus simple ? Il me faudrait trouver une telle application continue, et surtout justifier qu'elle est continue...
@Nightmare : avez-vous bien dit que B est ouvert ? Dans ce cas,
@ffpower, Heure : me suggerez-vous d'écrire Z comme l'image réciproque d'un fermé dans
par Nightmare » 25 Avr 2010, 12:10
ffpower a écrit:Tu cherches le fight de la démo la plus rapide hein? :arme:
Sauf que ce que tu énonces est faux. Genre le graphe de la fonction nulle sur ]0,1[, il est pas fermé :langue:
Je predis d'avance ma defaite mais cela ne m'empeche pas de jouer :lol3:
par ffpower » 25 Avr 2010, 12:41
mmestre a écrit:Merci à tous pour vos réponses si rapides !
@Nightmare : avez-vous bien dit que B est ouvert ? Dans ce cas,
@ffpower, Heure : me suggerez-vous d'écrire Z comme l'image réciproque d'un fermé dans
La fonction en question c'est (x,y)->xy, produit des fonctions continues (x,y)->x et (x,y)->y. Si ca te parles, tant mieux. Sinon, utilise la méthode de Night en revenant à la définition de fermés par les suites..( auquel cas je devrais admettre ma défiate :°( )
par Nightmare » 25 Avr 2010, 16:09
ffpower a écrit: auquel cas je devrais admettre ma défiate :°( )
Chic chic chic, prions Pythagore pour qu'il ne comprenne pas ton charabia :zen:
par mmestre » 25 Avr 2010, 19:34
Allez je vais mettre tout le monde d'accord, j'aime vos deux méthodes :)
L'utilisation d'applications continues semble "logique", mais les suites c'est bien aussi.
Je vais y réfléchir un peu à tête reposée et le cas échéant je reviendrai vous embêter.
Tout ça me parle, bien entendu, le problème est que mes maths sont un peu rouillées (8 ans depuis la prépa quand même..) et je me remets à la topologie avec enthousiasme mais lentement.
Bonne soirée à tous !
L'utilisation d'applications continues semble "logique", mais les suites c'est bien aussi.
Je vais y réfléchir un peu à tête reposée et le cas échéant je reviendrai vous embêter.
Tout ça me parle, bien entendu, le problème est que mes maths sont un peu rouillées (8 ans depuis la prépa quand même..) et je me remets à la topologie avec enthousiasme mais lentement.
Bonne soirée à tous !
Ça commence à rentrer
par mmestre » 27 Avr 2010, 10:05
Alors, voici un petit bout de la démonstration (méthode des applications continues) pour le premier fermé :
Je veux montrer que est fermé dans 
)
où 
telle que \in \mathbb{R}^{2},f(x,y)=xy)
est une application continue.
est fermé dans 
car 
est une union de deux ouverts donc est ouvert dans .
f étant continue, l'image réciproque par f de tout fermé est fermé, donc A est fermé dans.
Je veux montrer que
f étant continue, l'image réciproque par f de tout fermé est fermé, donc A est fermé dans
Les problèmes continuent
par mmestre » 27 Avr 2010, 10:58
Alors, maintenant que j'ai réglé son compte à A, je dois avouer que les problèmes continuent.
Je rappelle pour info que Z=\in\mathbb{R}^{2};xy=1,y>0\right\})
Et qu'on a écrit où et
On y va, dans l'ordre des posts :
@Nightmare (25/04/2010, 12h34) :
1) N'est-ce pas se compliquer la vie de chercher à écrire B comme image réciproque d'un ouvert dans ? Ne suffit-il pas d'écrire que 
qui est ouvert ?
2) Si B est ouvert.. comment montrer que Z est fermé ? L'intersection d'un fermé avec un ouvert ne nous avance pas beaucoup (enfin je crois..)
@ffpower (25/04/2010, 12h40) :
Ça m'arrangerait effectivement grandement d'écrire, mais comment est-ce possible ? Si y=1/x, on a forcément 
... (sauf à passer à la limite pour x ; c'est là bien le problème).
De manière générale, je commence à avoir des doutes sur le fait que Z est fermé.
Le but de l'opération était de montrer que la projection\rightarrow x)
n'est pas fermée, car l'image de Z par cette projection est 
qui est ouvert.
Mais on voit bien que ceci reste vrai si on remplace Z par l'ensemble suivant (qui lui est de toute évidence fermé) :
 \in \mathbb{R}^2 ; xy=1, y\geq 0 \right})
Y aurait-il une coquille dans mon énoncé ? D'après vous, Z est-il vraiment fermé ou bien parlait-on de Z' ?
Je rappelle pour info que Z=
Et qu'on a écrit
On y va, dans l'ordre des posts :
@Nightmare (25/04/2010, 12h34) :
1) N'est-ce pas se compliquer la vie de chercher à écrire B comme image réciproque d'un ouvert dans
2) Si B est ouvert.. comment montrer que Z est fermé ? L'intersection d'un fermé avec un ouvert ne nous avance pas beaucoup (enfin je crois..)
@ffpower (25/04/2010, 12h40) :
Ça m'arrangerait effectivement grandement d'écrire
De manière générale, je commence à avoir des doutes sur le fait que Z est fermé.
Le but de l'opération était de montrer que la projection
Mais on voit bien que ceci reste vrai si on remplace Z par l'ensemble suivant (qui lui est de toute évidence fermé) :
Y aurait-il une coquille dans mon énoncé ? D'après vous, Z est-il vraiment fermé ou bien parlait-on de Z' ?
par Ben314 » 27 Avr 2010, 11:13
Ben, vu que Z'=Z, ça change pas grand chose...
Tu as évidement Z contenu dans Z' (vu que y>0 implique y>=0)
Réciproquement, si (x,y) est dans Z' alors y>=0 et xy=1 or, il me semble bien que xy=1 implique y non nul donc forcément, y>0.
Tu as évidement Z contenu dans Z' (vu que y>0 implique y>=0)
Réciproquement, si (x,y) est dans Z' alors y>=0 et xy=1 or, il me semble bien que xy=1 implique y non nul donc forcément, y>0.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Donc Z=Z'..
par mmestre » 27 Avr 2010, 11:21
Vous dites donc que Z=Z' donc on fait la démonstration de Z' fermé et on en conclut Z fermé..
Ça semble tenir debout :briques:
Ça semble tenir debout :briques:
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