Fonctions/limites/dérivées

[help_me]

Bien le bonjour,

je me trouve confronté à un exercice de maths qu'après déjà plusieurs heures de recherche je ne parviens toujours pas à faire :mur: . j'espère que vous pourrez répondre à ma détresse. :we:

je vous donne l'énoncé (oui je sais c'est pas de l'exercice de débutant il est long)

Une entreprise détient un brevet de fabrication d'un verre léger.

La fonction de demande de ce produit est donnée par:
q= 320 - 0.05p
où p est le prix de 10kg de verre en €, et p la quantité, en dizaines d kg.

Le coût de fabrication de q dizaines de kg de verre est donné par:
C(q)= q^3-5q^2+400q+50 000
pour q appartenant à l'intervalle [0;80], c'est à dire une quantité produite variant de 0 à 0.8 tonne.

Le cout de fabrication est exprimé en euros.

1°) Exprimer le prix p en fonction de la quantité q demandée. Montrer que la recette s'exprime par:
R(q) = -20q^2 + 6400q

Démontrer que la recette est croissante sur [0;80].

2° Démontrer que le coût de fabrication est croissant sur [0;80].
On sera amené à utiliser le signe de 3x^2-10x+400.

3° a) Calculer R'(40) et C'(40).

En déduire que la recette marginale est égale au coût marginal lorsque l'on produit 400kg de verre.

b) résoudre l'équation R'(q) = C'(q)
Retrouver le résultat précédent.

4°) Justifier que le bénéfice réalisé par la production et la vente de q dizaines de kg de ce verre est donné, en euros par:
B(q)= -q^3 - 15q^2 + 6000q -50 000
pour q appartenant à l'intervalle [0;80]

Calculer B'(q), étudier son signe et en déduire le tableau des variations du bénéfice B sur [0;80].

Démontrer que le bénéfice admet un maximum. Pour quelle quantité?

Calculer alors le prix à proposer sur le marché pour obtenir un bénéfice maximal.

On pourra visualiser les deux courbes de recette et de coût total à l'écran de la calculatrice dans la fenêtre:

X appartient à [0;80] et Y appartient à [0 ; 400 000]


je vous remercie énormément pour votre aide votre savoir et votre patience :happy2:

[Ericovitchi]

C'est quoi une recette ? C'est ce que tu gagnes.
Si tu vends q objets à un prix p tu gagnes qp

or on te dis que q est lié à p par la formule q=320-0.05p

On te demande la recette en fonction de q, pas en fonction de p donc il faut qu'à partir de la formule q=320-0.05p tu trouves p en fonction de q puis que tu remplaces p dans la formule R =q.p

Essayes de faire la suite, car les questions ne sont pas bien difficiles.

[help_me]

je te remercie pour ce début, mais par exemple pour la question 2 j'ai cherché "delta" donc (b^2 x 4ac) dans l'expression 3x^2-10x+400. or je trouve une valeur négative, donc comment dresser un tableau de signes et de variations??

[ned aero]

si delta<0 que dire du signe d'un polynôme ax²+bx+c ?

[help_me]

c'est bien ce que je me demande ^^

[Ericovitchi]

C'est tout simple, un polynôme du second degré qui n'a pas de racine est du signe de son terme de plus haut degré (du signe de a).

(et pour mémoire, s'il a des racines, il est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire à l'intérieur).