DM terminale S fonction et intégrale

[phoenix21]

bonjour à tous.

Je vous expose mon problème : j'ai un dm de math à faire pour très bientôt et je bloque sur certaines questions.
Si vous pouviez me corriger et m'aider pour ce que je ne comprends pas s'il vous plais ?

énoncé :

" PARTIE A :

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x sur l'intervalle [0;+oo[ par f(x) = e^(1-x) * racine de (x)
Elle est dérivable sur l'intervalle ]0;+oo[. on note f'(x) sa dérivée sur ]0;+oo[
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o, i,j)

1°) Déterminer la limite de f en +oo ( pour cela on pourra justifier et exploiter l'écriture, pour tout réel x positif f(x) = e/racine (x) * x/(e^x)
Interpréter graphiquement ce résultat.

Réponse : J'ai réussis à prouver l'ecriture et je trouve que lim f(x) quand x tend vers +oo = 0 (je n'écris pas tout pour gagner du temps)

2°)
a - pour tout x strictement positif, calculer f'(x)

réponse : je trouve f'(x) = -e^(1-x) * (2x-1)/(2 racine de x)

b - étudier la dérivabilité de f en 0. Que peut-on en déduire graphiquement ?

réponse : je trouve que [f(0+h) - f(0)]/h = (e^(1-h)*racine de h)/h
mais je n'arrive pas à simplifier l'écriture pour trouver la limite du résultat quand h tends vers 0.

c - déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.

réponse : je pense que f(x) est croissante jusqu'à 1 et décroissante par la suite


PARTIE B :

on considère la fonction F de la variable réelle x définie sur [I; +oo[ par F(x)= intégrale de 1 à x de f(t) dt

1°)
a - rappeler pourquoi F est dérivable sur [1;+oo[ et déterminer F'x

Réponse : f est décroissante et continue dur 1;+oo[ d'apres la partie A. par définition la fonction F(x) = intégrale de a à x de f(t)dt est la primitive de f qui s'annule en a=1.
Ce qui signifie que F est dérivable sur [1;+oo[ et F'(x) = f(x)

b - en déduire le sens de variation de F

Réponse : je pense que c'est le même que f(x) mais je ne sais pas si c'est bon ni comment le dire.

2°)
a - démontrer que pour tout réel t positif : t+2>(ou égale) 2 racine 2 * racine t

réponse : je ne vois pas du tout comment procéder :help:
b - en déduire que, pour tout x de l'intervalle [1;+oo[ , F(x) <(ou égale) 1/ (2 racine2) * intégrale de 1 à x de (t+2) e^(1-t)dt

c - à l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout réel x de [1;+oo[
intégrale de 1 à x de (t+2) * e^(1-t) dt = 4- (x+3) * e^(1-x)

et apres je suis completement larguée =S
pouvez-vous m'aider s'il vous plais ? c'est tres important.

[gigamesh]

Bonjour,

partie A
* ta dérivée est correcte
* pour la dérivabilité en 0, simplifie le quotient par racine(h) ; f n'est pas dérivable en zéro mais se comporte comme la fonction racine en zéro (une histoire de tangente verticale)
* f est croissante sur [0;1/2] et pas [0;1] !!!

partie B
1) a) seul le fait que f est continue est un argument pertinent, que f croisse ou décroisse est sans intérêt pour prouver la dérivabilité de F
b) le sens de variation de F est donné par le signe de sa dérivée f ; en particulier F et f n'ont pas forcément le même sens de variation (par exemple en prenant F=ln et f=fonction inverse).
En tout cas il est vrai qu'ici F est croissante, mais le bon argument est que f>=0 sur [0;+inf[

2) développe

[phoenix21]

PARTIE A :

# Merci pour ma dérivée.

# Quand je simplifie le quotient je trouve (f(0+h)-f(0))/h = e^(1-h)/racine de h
et sa limite est +oo.
Donc f n'est pas dérivable en O.
Graphiquement je peux donc en déduire que le nombre f'(0) = 0 est le coefficient directeur de la tangente verticale à la courbe au point d'absisse 0.
C admet donc une tangente verticale à l'origine.
Est-ce exact ?

# comment peut-on savoir que f n'est croissante que jusqu'à 1/2 ?

Pour la suite je continue mes recherches
Merci =)

[phoenix21]

PARTIE A :

# Merci pour ma dérivée.

# Quand je simplifie le quotient je trouve (f(0+h)-f(0))/h = e^(1-h)/racine de h
et sa limite est +oo.
Donc f n'est pas dérivable en O.
Graphiquement je peux donc en déduire que le nombre f'(0) = 0 est le coefficient directeur de la tangente verticale à la courbe au point d'absisse 0.
C admet donc une tangente verticale à l'origine.
Est-ce exact ?

# comment peut-on savoir que f n'est croissante que jusqu'à 1/2 ?

PARTIE B :

Il y a quelque chos que je ne comprends pas du tout : F'(x) est bien égal à f(x) dans la partie A ?

[gigamesh]

PARTIE A :

Donc f n'est pas dérivable en O.
Graphiquement je peux donc en déduire que le nombre f'(0) = 0 est le coefficient directeur de la tangente verticale à la courbe au point d'absisse 0.
C admet donc une tangente verticale à l'origine.
Est-ce exact ?

C'est exact sauf le f'(0)=0 ; f'(0) n'existe pas.

# comment peut-on savoir que f n'est croissante que jusqu'à 1/2 ?

Pour la suite je continue mes recherches
Merci =)

Bin en étudiant le signe de la dérivée f'(x) !!!
est strictement négatif, est positif, donc f'(x) est positif quand 2x-1 est négatif donc pour x<1/2


Et oui, on a bien F' = f

[phoenix21]

okiii dans ce cas j'ai tout compris =)
Merci beaucoup =D