Action sur les matrices

[Joker62]

Bonjour ;)

Je travaille en ce moment sur les actions de groupes sur les matrices et donc on a évidemment tout le bazar d'équivalence, similitude et congruence.

Le problème étant que les groupes qui agissent sur ces ensembles de matrices ne sont pas finis.

Donc pour pouvoir jouer un peu avec les formules de classes tout ça, j'ai commencé à bosser sur des corps finis.
Là, c'est facile de trouver le cardinal de GL_n(Fp) par exemple.

Je voulais savoir si vous connaissiez des résultats intéressants en partant de ce point de vue.
Genre, on pourrait imaginer pouvoir dénombrer le nombre de sous-espaces stables et d'autres choses de ce type.

J'ai déjà réfléchi pour la relation de similitude de GL_2(F2) sur M2(F2), on aurait par exemple que l'orbite d'une matrice cyclique contient 3 éléments. Mais ça donne rien d'extravagant.

Donc je m'en remets à vous à vos idées.
Merci ;)

[alavacommejetepousse]

salut joker

il y a une demo du theoreme de sylow à base de tout ça

on determine card Gln(Fp) on verifie que SLn(Fp) en est un sylow

on utilise le fait que tout groupe fini est isomorphoe à un sous groupe de Sn donc de Gln(Fp) et on termine la preuve en montrant j que la propriété
avoir un sous groupe de sylow est héréditaire ( id est si vrai pour G alors vrai pour H sous groupe de G) par action de groupe justement

[Joker62]

Oui c'est une démo que j'ai vu pour la première fois cette année et qui m'avait un peu étonné parce que originale.
Elle est dans le Perrin d'ailleurs.

Mais on utilise pas vraiment une action sur un espace de matrice avec ça.

Je connais pour l'instant 3 telles actions :
Steinitz : (P,Q)xM ----> PMQ avec P dans GLn Q dans GLm M dans M_nm
Similitude : PxM ------> PMP^-1 avec P dans GLn et M dans Mn
Congruence : PxM ------> t^PMP P P dans GLn M dans Mn

La vision des actions est intéressante quelques fois. On caractérise les orbites, on fait des réductions, des formes quadratiques et tout et tout.

Mais j'aimerais utiliser des résultats comme la formule des classes, les bijections entre les orbites et le quotient du groupe par le stabilisateur

J'pense qu'on pourrait avoir des résultats intéressants sur le commutant par exemple ou des trucs du genre.

[Ben314]

on determine card Gln(Fp) on verifie que SLn(Fp) en est un sylow

Juste une remarque :
Il me semble bien que ce n'est pas Sln(Fp) [dont le cardinal est celui de Gln(Fp) divisé par p-1] qui est un p-sous groupe de Sylow de Gln(Fp), mais plutôt l'ensemble des matrices triangulaires (par exemple supérieures) n'ayant que des 1 sur la diagonale [dont l'ordre est clairement une puissance de p].

[alavacommejetepousse]

tout à fait ben mea culpa