Intégrales et Suites Terminale S

[loriane007]

Bonjour
Voilà j'ai un devoir à rendre pour lundi et j'ai quelques soucis. Voici donc l'énoncé et ce que j'ai réussi :

Pour tout entier , on pose :
et

1° Calculer , puis à l'aide d'une intégration par partie.

J'ai donc
Ensuite, pour l'intégration par partie j'ai


en intégrant par partie je prends
u(x)=1-t
v'(x)=
u'(x)=-1
v(x)=
Je retombe donc sur




2° Démontrer que pour tout entier n, on a :

Et là j'ai seulement remplacé le de l'énoncé par j'ai un petit beug, je sais pas trop où aller là ... Si vous pouviez m'aider svp :help:

[Ericovitchi]

Pareil que ce que tu as fait pour J1, intégration par parties de Jn+1 pour retomber sur du Jn

[loriane007]

Voilà j'ai fait mon intégration par partie de mais je trouve ça :



il me manque un exposant n+1 au dénominateur et pourtant j'ai tout revérifié... je ne trouve pas mon erreur =(

[Ericovitchi]

non moi j'ai bien trouvé ce qu'ils demandent.

quand tu intègres par partie le terme constant est :


il vaut bien

[loriane007]

Ah mais oui forcémen fera toujours 1 ... -__-'
On peut donc en déduire qu'il sagit d'une suite arithmétique de raison

3° En déduire par récurence que pour tout entier n :

Je vois pas trop comment faire par récurence j'ai testé ça mais je crois pas que ça donn grand chose là :
Definition d'une suit arithmétique :

[Ericovitchi]

non dans les suites arithmétique, la raison ne varie pas. tu n'as pas le droit d'écrire Jn=J0+nr car ton r dépends de n, tu ne peux pas les additionner entre eux.

par contre effectivement tu peux écrire les relations

Jn+1-Jn = -1/(n+1)!2^(n+1) les une en dessous des autres et toutes les additionner membre à membre. Les termes vont se simplifier deux à deux sauf le premier et le dernier et tu vas trouver Jn comme une somme de termes qui va étrangement ressembler au développement de avec un x=1/2

[loriane007]

je ne vois pas très bien ou est la récurence ici. Si j'ai bien compris en écrivant les relation de n=0 à n les une en dessous des autres on obtient :

[loriane007]

up ! :we:

[ALPHA NUL]

Récurrence signifie également: retour, répétition ... On ne doit pas
forcément s'attendre à la démarche complète de la démonstration par
récurrence. Si on développe chaque différence de cette somme à l'aide
de la formule établie ci-dessus, on obtient:







avec

et donc: