Idéal principal

par **lapras** » 14 Avr 2010, 18:14

Bonsoir,
Connaissez-vous des méthodes (algorithmes) pour déterminer si un idéal est principal ?
Lapras :we:

par **AL-kashi23** » 14 Avr 2010, 20:34

Bonne question.. ça m'intéresse aussi!

Une phrase très profonde:

Si t'as une division euclidienne, ça marche bien ^^

par **Joker62** » 14 Avr 2010, 22:49

Haileau.
ça n'a rien d'algorithmique si ?

Enfin selon moi c'est théorique avant tout. Donc bon faut connaître et avoir un peu d'expérience sur les Anneaux.

par **Ben314** » 14 Avr 2010, 23:35

Ben, perso, je pense que si t'as pas plus de "contexte" que ça, tu risque pas d'avoir d'algorithme !!!!

Au mini, faudrait un peu "cadrer" dans quel type d'anneau tu te plaçe (voir précisément dans quel anneau) et aussi (surtout) sous quelle forme est donné l'idéal en question : générateurs ? noyau d'un morphisme ? intersection d'idéaux déjà connus ? ...

par **lapras** » 15 Avr 2010, 10:04

En gros je voudrais calculer le nombre de classes d'idéaux de A dans un anneau de nombres algébriques.
Par exemple j'aimerais savoir si (p, a) est principal ou p premier de Z et a entier algébrique. (ex : a=1-i*sqrt(5))

par **Ben314** » 15 Avr 2010, 10:36

Ben voila une question qu'elle est claire qui forcément induit une réponse qu'elle est claire :
Je sais pas... :cry:

J'aurait tendance à penser que, par raport à l'exemple que tu donne où a est quadratique complexe, on doit pouvoir trouver un algo (peut-être trés bourin) : c'est une équation diophantienne et, modulo d'arriver à majorer les variables qui interviennent (est-ce possible ?) y'a qu'à tout essayer...

par **Doraki** » 15 Avr 2010, 10:58

lapras a écrit:En gros je voudrais calculer le nombre de classes d'idéaux de A dans un anneau de nombres algébriques.
Par exemple j'aimerais savoir si (p, a) est principal ou p premier de Z et a entier algébrique. (ex : a=1-i*sqrt(5))

Faut aussi que tu détailles A parceque sinon ça ne nous donne pas l'idéal.
Et le calcul du nombre de classes est un truc assez compliqué j'crois.
Au pire on utilise le résultat de Minkowski qui dit que chaque classe a un représentant de norme <= une certaine borne, puis on les regarde tous...

Si je me souviens bien, pour Q(sqrt(-5)) on a 2 classes.

par **lapras** » 19 Avr 2010, 18:28

Quelques détails.
Par exemple (16+iV(5), 29) = (3+2*iV(5)) est principal. (en fait ca correspond à la décomposition du nombre premier 29=3²+2²*5, j'étudie les nombres premiers de la forme x²+ny²).
Mais par exemple (3, -1+i*V(5)) n'est pas principal.
Bon le cas Z[isqrt(5)] est assez facile effecivement il y a 2 classes d'idéaux : un idéal est soit principal soit de la forme J*(a) où J=(2, 1+iV(5)). (ca se montre avec Minkowski)
Mais j'aimerais étudier plus généralement des méthodes pour le calcul du nombre de classe.
Pour le moment je voudrais étudier les idéaux des anneaux d'entiers de corps quadratiques comme dans mes exemples.
Comment trouver tous les idéaux qui ont une certaine norme ? Comment montrer q'un idéal (comme (3, -1+i*V(5)) ) est ou n'est pas principal ?

par **lapras** » 20 Avr 2010, 18:21

En fait, ce qui m'interesse vraiment est la chose suivante :
si je me donne A un idéal (A idéal de l'anneau des entiers d'un corps de nombres K) et un entier algébrique x j'aimerais savoir si A=(x).
(comme on sait qu'il existe un élément de A de norme <= constante * norme(A), pour tester si A principal on test tous les x de norme <= cette borne).
Une condition necessaire est norme de l'idéal A = norme de l'élément x.
Apres je sais pas trop comment continuer...
Avez vous des idées ?

par **lapras** » 21 Avr 2010, 18:07

Personne ne peut m'aider ?

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