Exercice de physique

[Mister Red]

Bonjour, j'aurais besoin de vos lumières sur un exercice de thermodynamique.
Voilà l'énoncé :

Un réservoir de volume V est alimenté par un corps de pompe cylindrique muni d'un piston et de deux soupapes. Quand la soupape d'admission S est ouverte et la soupape d'échappement S' fermée, l'air atmosphérique (assimilé à un gaz parfait) pénètre dans le cylindre sous la pression P0 et repousse le piston; le volume maximal occupé par l'air dans le cylindre est V0. Puis, la soupape d'admission étant fermée, le piston comprime l'air ; lorsque l'air du cylindre atteint la pression de l'air du réservoir, la soupape d'échappement s'ouvre et l'air est refoulé dans le réservoir. Lorsque le piston arrive en bout de course, il reste un volume V d'air dans le cylindre. Un deuxième aller-retour du piston commence alors.
Initialement, la pression dans le réservoir est P0. Soit P(n) la pression dans le réservoir après n aller-retour du piston.




En analysant le n-ième aller-retour du piston, établir la relation de récurrence liant P(n) et P(n+1).
Je ne comprends pas très bien par où aller, une aide svp !

[Mister Red]

Personne ne peut m'aider ? :hein:

[Benjamin]

Bonjour,

Quelques étapes pour t'aider.
Juste à la fin du cycle (n), le piston est en bout de course et la soupape d'échappement (vers le réservoir) vient juste de se fermer. Il y a la pression P(n) dans le réservoir.

Ensuite, tu remplis ton cylindre avec l'air atmosphérique. Quand le piston arrive en bas, tu fermes ta soupape d'admission et ton cylindre est donc entièrement fermé. Tu as un volume .... à la pression ....

Puis, tu compresses jusqu'à atteindre la pression P(n) dans le cylindre et à ce moment, tu ouvres la soupape vers le réservoir. Au moment tu ouvres cette soupape quel est le volume du cylindre (en fonction de P0, V0 et P(n)) ? (considère qu'on est à température constante)

Ta soupape s'ouvre. A cet instant, tu as un nouveau volume qui rentre en jeu : celui de réservoir plus celui qui restait du cylindre (que tu as calculé à ma question précédente) ! Tu as donc un volume .... à la pression ....

Enfin, tu finis la compression : le piston remonte dans le cylindre jusqu'à ce que le volume dans le cylindre soit .... (tu es sûr de ton énoncé ? c'est bien à nouveau V qui est utilisé ?) Ton volume total est alors .... et donc la pression est passé à .... C'est la pression P(n+1).

[Mister Red]

Oui désolé il y a une faute, on pourrait noter le volume mort Vm et non V déjà utilisé. Et P(n) est la pression dans le RESERVOIR pas le cylindre.


Quand j'ai le cylindre fermé remplie d'air, je commence la compression. Quand on arrive à une pression du cylindre Pc égale à la pression dans le réservoir Pr on a un volume Vc dans le cylindre :


au nième tour :
Pc*Vc= nc*R*T
Pr*V=nr*R*T avec ici Pr=P(n-1) et nr=n(n-1)
Si P(n-1)=Pc alors nc/Vc=n(n-1)/V donc Vc= (nc*V)/n(n-1)

or nc=n(0)=[P(0)*V(0)]/R*T
n(n-1)=[P(n-1)*V]/(R*T)

d'où Vc=[P(0)*V(0)]/P(n-1)

Est-ce juste ?



Ensuite la soupape S' s'ouvre. On a maintenant dans le réservoir de volume constant V une quantité de matière nc qui s'ajoute à celle déjà présente dans le réservoir n(n-1). La pression P(n) augmente donc :

n(n)=n(n-1) + nc=[P(n-1)*V+P(0)*V(0)]/RT
d'où P(n)=[n(n)*RT]/V=P(n-1)+[P(0)*V(0)]/V

Ton aide m'a été forte utile pour déduire ces résultats, qui je pense sont justes. Qu'en penses-tu ? Des erreurs ?


Le problème c'est que la question suivante est "Déterminer la pression Plim dans le réservoir lorsque P(n)=P(n-1)"
Le résultat trouvé précédemment parait ici être faux... :mur:

[Benjamin]

Oui désolé il y a une faute, on pourrait noter le volume mort Vm et non V déjà utilisé. Et P(n) est la pression dans le RESERVOIR pas le cylindre.

Ok, ça roule.

Quand j'ai le cylindre fermé remplie d'air, je commence la compression. Quand on arrive à une pression du cylindre Pc égale à la pression dans le réservoir Pr on a un volume Vc dans le cylindre :


au nième tour :
Pc*Vc= nc*R*T
Pr*V=nr*R*T avec ici Pr=P(n-1) et nr=n(n-1)
Si P(n-1)=Pc alors nc/Vc=n(n-1)/V donc Vc= (nc*V)/n(n-1)

or nc=n(0)=[P(0)*V(0)]/R*T
n(n-1)=[P(n-1)*V]/(R*T)

d'où Vc=[P(0)*V(0)]/P(n-1)

Est-ce juste ?

Oui, très bien. Je n'aurai pas procédé dans cet ordre mais chacun sa logique !

Ensuite la soupape S' s'ouvre. On a maintenant dans le réservoir de volume constant V une quantité de matière nc qui s'ajoute à celle déjà présente dans le réservoir n(n-1). La pression P(n) augmente donc :

n(n)=n(n-1) + nc=[P(n-1)*V+P(0)*V(0)]/RT
d'où P(n)=[n(n)*RT]/V=P(n-1)+[P(0)*V(0)]/V

Ton aide m'a été forte utile pour déduire ces résultats, qui je pense sont justes. Qu'en penses-tu ? Des erreurs ?

Là oui, il y a une erreur. Quand S' s'ouvre, tu as une quantité de matière totale qui est bien n(n-1) + nc. Mais au moment où S' s'ouvre, le volume dans lequel est contenu l'air est Vt = V + ... Tu continues la compression jusqu'à ce qu'il reste un volume Vm dans le cylindre. Au moment où S' va se fermer, tu as Vt = V + Vm. Que vaut alors le pression ?

En fait, il y a un théorème qu'il faut connaitre (et tu dois savoir le démontrer, c'est simple à partir de PV=nrT) : Soit un Volume V1 à la pression P et la température T et un Volume V2 à cette même pression et cette même température : alors, si on met en commun les 2 volumes, la pression et la température reste la même.

Ainsi, quand tu fermes ta soupape S', juste après fermeture, pression réservoir = pression cylindre = pression (reservoir+cylindre) juste avant fermeture. Même chose à l'ouverture bien sûr.

[Mister Red]

J'ai un peu avancé, il me semble...

Voilà mon erreur : nc n'est égal à P(0)*V(0)/R*T qu'au premier tour
Mais quand il y a les volumes mort qui rentrent en jeu. Donc à chaque tour, la quantité de matière rajouté est nr=[P(0)*(V(0)-Vm)] / R*T

On obtient donc nc=[P(0)*(V(0)-Vm)] / R*T + [P(n-1)*Vm] / R*T

Ainsi Vc=[P(0)*V(0) + Vm*( P(n-1)-P(0) )] / P(n-1)

Donc quand S' s'ouvre, il y a une pression P(n-1) pour un volume, non de V mais de V + Vc
Quand S' sera fermé, le tour achevé la pression dans le cylindre sera maintenant de P(n) pour un volume de V.


Par un simple produit en croix j'obtiens :

P(n)*(Vc+V)=V*P(n-1)
d'où P(n) = (V* (P(n-1))²) / [ P(0)*V(0) + Vm*( P(n-1)-P(0) ) + V*P(n-1) ]


Ok, le seul problème est que lorsque je calcule la pression limite, ici lorsque P(n)=P(n-1) j'obtiens une pression limite négative :
P(lim)=[ P(0)*(Vm-V(0)) ] / Vm

Je ne vois pas où est mon erreur en fait...

[Benjamin]

On va reprendre les choses simplement. Procédons étape par étape. Définissons le volume, la pression et la quantité de matière aux instants clé.

Piston en bas : V0,P0,n0
Juste avant que S' s'ouvre : Vc,P(n-1),n0
Juste après l'ouverture de S' : V+Vc,P(n-1),n0+nr
Une fois le piston tout en haut, juste avant la fermeture de S' : V+Vm,P(n),n0+nr

Avec les 2 première, tu élimines n0, et avec les deux dernières, n0+nr. Ensuite, tu exprimes Vc (tu l'as déjà fait) puis P(n) en fonction de V, Vm, Vc et P(n-1). Tu remplaces Vc par son expression et tout roule !

[Mister Red]

Oui effectivement c'est plus clair déjà.

Mais j'ai deux questions.


Quand le piston est en bas, ne doit-on pas prendre en compte le volume mort et la quantité dans celui-ci du tour d'avant ?

Par la réponse que vous allez me donné, Vc est le volume du cylindre compressé, que j'ai trouvé dans mon premier message ou l'avant-dernier en tenant compte du volume mort du tour d'avant ?

[Ben314]

Quand le piston est en bas, ne doit-on pas prendre en compte le volume mort et la quantité dans celui-ci du tour d'avant ?

Non : A priori, quand le piston descend, la soupape d'admission ne s'ouvre que quand la pression à l'intérieur du piston devient égale à la pression athmosphérique puis, quand le piston continue de descendre, de l'air rentre et la pression à l'interieur du piston reste égale à la pression athmosphérique.
Le "volume mort" du piston n'influe que sur le moment auquel la soupape d'admission s'ouvre et, comme on ne te demande pas de le déterminer...
[Si un procédé mécanique forçait la soupape d'admission à s'ouvrir dés le début de la descente alors une partie du "volume mort" s'échaperait à cause de la surpression, mais ça ne changerais rien aux résultats que l'on te demande]

Conclusion : Le "volume mort" n'as pas d'influence.
Quand le piston est en bas, il contient un volume V0 d'air à pression P0 (atmosphérique).

Par contre, personellement, pour simplifier les calculs, j'aurais fait comme si la soupape d'échappement ne s'ouvrait que quand le piston est tout en haut et que, instantanément, les pression dans le piston et dans le réservoir s'équilibraient. On obtient bien entendu le même résultat (vu que l'on ne tient pas compte de l'échauffement de l'air)

[Benjamin]

Oui effectivement c'est plus clair déjà.

Mais j'ai deux questions.


Quand le piston est en bas, ne doit-on pas prendre en compte le volume mort et la quantité dans celui-ci du tour d'avant ?

Ben314 a très bien répondu pour ça.

Par la réponse que vous allez me donné, Vc est le volume du cylindre compressé, que j'ai trouvé dans mon premier message ou l'avant-dernier en tenant compte du volume mort du tour d'avant ?

Vc, c'est celui de ton premier message : le volume du cylindre au moment où Pc=P(n-1) (et où donc la soupape S' va s'ouvrir).

[Mister Red]

Ok merci beaucoup pour vos aides !

On arrive à la fin... :we:


Je dois maintenant exprimer P(n) en fonction de V, V(0), Vm, P(0) et surtout n le nombre de tours. Donc j'ai déjà P(n) en fonction de P(n-1) avec ces données. J'en conclus que je dois exprimer P(n-1) en fonction de n.

J'en déduis aussi que si on exprime P(n-1) en fonction de n, P(n-1) sera en quelque sorte proportionnel à une autre pression. Je ne vois pas laquelle...

[Benjamin]

Bonjour,

La question ne parle pas de trouver P(n) en fonction de n (pas celle que tu nous as donné en tout cas). On te demande d'exprimer P(n) en fonction de P(n-1) puis de trouver la pression limite. Tu as trouvé quoi alors ?

[Mister Red]

Oui oui je sais mais j'ai réussi à trouver grâce à vous.

Pour les résultats je trouve

P(n)= [ P(0)V(0) + P(n-1)V ] / (V+ Vm)

Ainsi la limité est P(lim)= [ P(0)V(0) ] / (2V + Vm)


C'est pour ça que j'ai enchainé dans mon dernier message sur une dernière question. Trouver P(n) en fonction de n cette fois-ci.

[Benjamin]

Oui oui je sais mais j'ai réussi à trouver grâce à vous.

Pour les résultats je trouve

P(n)= [ P(0)V(0) + P(n-1)V ] / (V+ Vm)

Ok, c'est juste.

Ainsi la limité est P(lim)= [ P(0)V(0) ] / (2V + Vm)

Cette fois, c'est faux. Tu as fait une erreur de signe quelque part. Au lieu d'avoir V+V, tu aurais du avoir V-V pour le dénominateur.

C'est pour ça que j'ai enchainé dans mon dernier message sur une dernière question. Trouver P(n) en fonction de n cette fois-ci.

Ici, tu as une suite arithmético-géométrique. Je t'invite à regarder là pour la résolution. Mais pour l'explication claire et pédagogique de ce qu'il y a derrière, il faudrait mieux que tu poses cette dernière question dans le forum lycée pour avoir des réponses plus adaptées que je ne suis pas en mesure de te donner.

[Mister Red]

Oui exact, faute de signe, V pars au dénominateur, il me reste Vm.

Ok pour la suite arithmético-géométrique je regarde ça, je l'ai fais en math. Merci de tes conseils et ton aide !

A bientot!