Inégalité avec une norme quelconque et 4 vecteurs ( Exercice )

[Tiilt]

Bonjour à tous ! Je planche sur cet exo depuis plusieurs heures sans parvenir à le résoudre, et votre aide serait fortement appréciée pour en venir à bout, l'énoncé est très simple :

Soit (E, |.| ) un Espace vectoriel normé et (x,y,z,t) appartenant à E^4, montrer que :

|x-y|+|z-t|+|x-z|+|y-t| >= |x-t|+|y-z|

L'inégalité triangulaire de la norme ne m'a mené nulle part jusqu'à présent, en l'appliquant à |x-t|=|x-y+y-z+z-t| et à |y-z|=|y-t+t-x+x-z|, je tombe sur

|x-y|+|z-t|+|x-z|+|y-t| >= 0, rien de bien nouveau ... :triste:

Merci par avance de votre aide !

Tiilt

[girdav]

Bonjour,
l'inégalité étant invariantz par translation on peut se ramener au cas où .

[Ben314]

Avec que l'inégalité triangulaire, on s'en sort.
Fait un dessin : tu as un quadrilatère et tu veut montrer que la somme des 4 cotés est plus grande que la somme des diagonales.
En regardant le dessin, tu voit qu'il y a deux façons naturelles (et symétriques) de majorer |x-t|. De même il y a deux façons de majorer |y-z|.
Et si par hasard on ajoutait les 4 inégalités obtenues de façon à avoir un truc "bien symétrique"...