Exposé - Processus de Galton-Watson - Probabilités

[xav57condo]

Bonjour a tous!!

Je suis actuellement en Master1 de mathématiques et je dois préparer un sujet d'agrégation traitant du processus de Galton-Watson afin d'en faire un exposé. cependant au bout de quelques questions je me retrouve bloqué et je souhaiterai avoir un peu d'aide pour me permettre de continuer. S'il vous était possible de m'aider dans les questions ou je bloque.

Je vous joint ci-après une petite partie du sujet. J'ai déjà traité la partie 1 sur la FORMULE DE WALD.
Si vous pouvez me donner des indications quant à la manière de traiter certaines de ces questions ce serait parfait. En effet vu la longueur je n'attends pas que vous m'aidiez sur tout ^^

Merci d'avance!!

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[MathMoiCa]

Salut,

- Etude de la variance -
1) : une petite récurrence et c'est fait
3) : http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_variance

- Proba d'extinction -
1) : ben c'est par définition de E --> "il existe n" se traduit par une union sur les n. Sinon, démo habituelle en prenant un appartenant à E puis appartenant à l'union.
3) : calcule sa dérivée seconde...

Bon euh la suite, tu dis où tu bloques parce qu'il y a quand même des questions basiques là o.O

P.S. : pourquoi as-tu appelé tes images "ter" ?


M.

[xav57condo]

Bonsoir!

Merci pour toutes ces indications déjà cela va m'aider. Pour répondre à ton PS, TER sont les initiales de l'exposé. Chaque étudiant choisi un domaine et en fait un exposé. Il me semble que TER signifie "travail d'étude et de recherche" si je ne me trompe pas.

Encore merci. Si je bloque je préciserai les questions

Par contre j'ai une question... pour la recurrence, je ne saisi pas la notation de "loi conditionnelle". Je fais référence au L(Zn+1/Zn) de l'énnoncé... comment utiliser ceci... enfait puis écrire tout simplement que ?? OU bien faut-il user d'espérance conditionnelle... Merci

[xav57condo]

Bonjour,

pourrai tu me donner une indication sur la 2è récurrence la question 1) de la partie "Etude de la variable Zn".
Ensuite j'aurai besoin d'indication pour montrer la question 3) de la partie "proba d'extinction" sur la convexité ainsi que les questions 6) et 12) de cette même partie. Pour le reste j'ai reussi.

Voila merci d'avance :)

[MathMoiCa]

Je ne sais pas ce qu'est la deuxième récurrence o.O

En tout cas, pour montrer que , on peut remarquer que

Ensuite, occupons-nous de
De la même manière que pour démontrer l'identité de Wald, et en utilisant l'indépendance de la suite , on peut aisément montrer que c'est égal à (ça demande plus que deux lignes)
Ce qui est aussi égal à , car les sont identiquement distribuées et G est leur fonction génératrice.

Donc .
Or, l'hypothèse de récurrence dit que
Donc ici,


M.

[MathMoiCa]

Par contre j'ai une question... pour la recurrence, je ne saisi pas la notation de "loi conditionnelle". Je fais référence au L(Zn+1/Zn) de l'énnoncé... comment utiliser ceci... enfait puis écrire tout simplement que ?? OU bien faut-il user d'espérance conditionnelle... Merci

Bin grosso modo, ça veut dire que conditionnellement à {Z_n=k}, la loi de Z_{n+1} est celle de
Que tu notes k, ou Z_n, ça revient "au même" au niveau de la signification.

Et pour ton P.S. : c'est marrant, nous on a des TER aussi, mais pour travail encadré de recherche. Et j'en fais un sur les processus de GW justement lol


M.

[MathMoiCa]

Ben pour la stricte convexité : une fonction (qu'on suppose deux fois dérivable) est strictement convexe si sa dérivée seconde est strictement positive (dérivée première strictement croissante).


Pour la 6 et la 12, pas ce soir, je suis trop crevée...

M.

[xav57condo]

OK. Enfait pour la stricte convexité j'avais pas remarqué que c'était une question bidon... un moment d'égarement... enfin bref merci pour tout c'est vraiment gentil... et non nous on est pas vraiment encadré lool...

Merci encore^^
Xav

[xav57condo]

Bonjour!!

J'ai bien avancé dans mon TER. Mais je bloque encore a une question. Toujours avec les même notation que vu précédemment, on suppose que et que .

On considere la variable aléatoire Wn définie par
On pose la transformée de laplace de Wn :
De même on pose la transformée de laplace de W :

Voici les questions que je n'arrive pas a traiter :

1) Montrer que pourtout teta positif ou nul la limite quand n tend vers + l'infini de est (je pense qu'il faut utilser le fait que Wn converge dans L² vers W (vu dans une partie précédente) ce qui implique quelle converge en loi mais je ne sais pas comment rediger correctement...)

2)Montrer que

3) On en déduit par passage a la limite que

4) Montrer que et que

Merci d'avance

[xav57condo]

Bonjour,

J'aurai vraiment besoin d'un coup de main , mais uniquement pour la question . Pour le reste j'ai finalement trouvé.

Merci d'avance