DM Calcul primitive

[touno]

Bonjour, j'ai un dm a rendre pour la rentrée mais j'ai quelques petits problemes pour la premiere question
enonce:
f(x)= ln x/(1+x²) et F(x)= integrale ( 1 , x) f(t)dt

montrer que F est derivable sur ]0;+ l'infini [ , et preciser F'(x)

a ce niveau la je n'arrive pas a trouver F(x) en fesant une integration par partie
je vous remercie de votre aide
Cordialement Antoine.

[Nightmare]

Salut !

Où t'est-il demandé de trouver F(x) ? On te demande juste de prouver qu'elle est dérivable et de calculer sa dérivée. Indice : C'est du cours... :lol3:

[Ericovitchi]

Non tu ne peux pas trouver de primitive qui s'exprime simplement (le résultat s'exprime avec la fonction Polylogarithm que tu ne connais sans doute pas)

Non il faut se débrouiller sans la primitive. En majorant par une autre intégrale que l'on sait calculer par exemple.

[touno]

Ok merci donc la derivee de F(x) c'est f '(x) ?
pourtant je pensé que la derivé de F(x) etait f(x)

[Ericovitchi]

la dérivée de F(x) c'est bien f(x). je ne sais pas ce qui pu te faire dire autre chose dans nos posts ?

[touno]

mais il faut pourtant bien determiner F(x) pour trouver sa derivee
on sait que f(x) = ln x/(1+x²)
il faut donc trouver sa primitive :
je connais f= u'/u F= ln u + k
mais je ne vois pas comment faire ?

[Ericovitchi]

On ne peut pas trouver la primitive. On ne peut pas.

tu veux savoir ce qu'elle vaut ?

1/2 i (-Li_2(-i x)+Li_2(i x)+(log(1-i x)-log(1+i x)) log(x))+constant

avec la fonction Polylogarithme d'ordre n

(la fonction Polymachin c'est : )

donc tu vois ça te fait une belle jambe

[Nightmare]

Encore une fois, je te renvoie à ton cours. Notamment le théorème fondamental qui dit que, lorsque f est continue sur [a,b], la fonction est une primitive de f. Autrement dit, F est dérivable et a pour dérivée f.

[Ericovitchi]

Oui mais il faut montrer que l'intégrale existe non ? c.a.d qu'elle n'est pas infinie.
En zéro la fonction vaut quand même - l'infini donc ça n'est pas évident ?

[touno]

ok en faite moi j'avais deja donné la demonstration du theoreme que tu donne Nightmare, car s'est comme ça qu'on montre que F est derivable
mais mon probleme vient plutot de F'(x)
moi j'ai mis F'(x)= integrale (1 , x) f'(x)dt
mais bon ça me semble un peu simple pour une question
surtout qu'apres on me demande le sens de variation de F
(d'apres l'enonce je connais deja le sens de variation de f )

[Ericovitchi]

non on t'a déjà dit F'(x)=f(x)

si tu fais integrale (1 , x) f'(t)dt tu trouves f(x), par F(x)

[touno]

ok, merci à vous c'etait donc pas aussi difficile que je le pensé

[Ericovitchi]

que je le pensais