Exercice suites 1ère S

[Dreakh]

Bonjour,
J'ai un exercice pour demain et j'avoue que je bloque un peu :(...
Voila l'exo :

La suite (Un) est définie pour tout naturel non nul par Un = 1/(n+racine(1)) + 1/(n+racine(2)) + 1/(n+racine(3))+...+ 1/(n+racine(n)).

1) Calculer U1, U2, U3.
2) Un est la somme de n termes. Quel est le plus grand ? Quel est le plus petit ?
Déduisez-en que, pour tout naturel non nul n,
n/(n+racine(n)) =< Un =< n/(n+1), puis la limite de la suite (Un).

Déjà je trouve que l'énoncé ne veut rien dire ^^... Ensuite je ne comprend pas trop pour le calcul des termes, je trouve l'énoncé ambigue... J'ai fait ça :
U1 = 1/(1+racine(1)) = 1/2
U2 = 1/3 + 1/(2+racine(2)) = (racine(2) + 5)/ (6 + 3racine(2))
U3 = 1/4 + 1/(3+racine(2)) + 1/(3+racine(3))

Ensuite je ne comprend pas non plus très bien le reste... Voilà ce que j'ai fait, je pense que ce n'est pas ça mais bon ...
J'ai dit que : 1/(n+racine(1)) est le plus grand terme.
1/(n+racine(n)) est le plus petit terme.
De plus 1/(n+racine(1)) = U1 = n/(n+1)
Et après je suis bloqué... :(
Merci de votre aide.

[Ben314]

Salut,
Ben, jusque là, ça me parrait tout bon, sauf que 1/(n+racine(1)) ce n'est pas U1.
L'énoncé n'est pas à proprement parlé ambigü, mais il est un peu compliqué :
Il te dit que le terme Un est la somme de n fractions , mais il faut faire attention au fait que ces fractions ne sont pas des termes de la suite.

Pour la fin de cette question, il y a une "mini-astuce" : si je te dit que j'ai ajouté 100 nombres qui sont tous entre 3 et 5, que peut tu me dire de la somme ?
Voit-tu le lien avec l'exercice ?

[Dreakh]

Si j'ai bien compris il faut utiliser le théorème des gendarmes pour la fin (pour trouver la limite) => ça c'est ce que j'aurais fait mais la partie ou je bloque c'est pour trouver le plus grand et le plus petit terme et surtout en déduire l'encadrement de Un :(
Merci à toi ;)

[Ben314]

Ben... il me semblait que le plus grand et le plus petit, tu les avait trouvés :
De nouveau la seule chose un peu "compliqué" c'est de comprendre la question : on ne te demande pas de comparer les termes de la suites (c'est à dire de comparer U1 avec U2 avec U3) mais de comparer les termes de la somme qui définit Un, c'est à dire de comparer
; ; ... ; .
Et là, c'est super fastoche vu que les dénominateurs vont en augmentant (avec le même numérateur), ils sont de plus en plus petit donc le plus grand est le premier et le plus petit est le dernier comme tu l'as dit dans ton premier post.

Enfin, la "mini-astuce", c'est que, quand tu ajoute n nombres réels, la somme est supérieure à nxle_plus_petit et elle est inférieure à nxle_plus_grand.
Ca te donne l'encadrement demandé et, effectivement, tu conclue à l'aide du théorème des gendarmes.