Limite d'une fonction de deux variables

[Jacques COLLOT]

La question suivante a été posée à un examen : Vérifier que la limite suivante n'existe pas :
.

j'ai essayé avec le test qui utilise des chemins différents. Si les limites sont différentes alors la limite n'existe pas.

On vérifie facilement :

Ensuite j'ai essayé en remplaçant : et puis je fais tendre k vers l'infini. Même résultat la limite vaut zéro.

Ensuite j'ai essayé en remplaçant : et puis je fais tendre x vers 2. Même résultat: la limite vaut zéro.

Donc mes questions :
1) Est ce que mes calculs sont corrects et donc qu'en fait la limite existe en (2,5) et que donc la question est mal posée?
2) Est-ce que je me suis planté (mais où?) ou bien est-ce que je n'utilise pas la bonne méthode?
Merci pour vos conseils.

[Ericovitchi]

pour y voir plus clair je diviserais haut et bas par (x²-4)(y-5)²

En bas tu vas te retrouver avec des quotients genre (y-5)^4/(x-2) par exemple

Alors là on peut les faire tendre vers n'importe quoi en fonction du chemin.
par exemple si tu fais y=5+k et x=2+k^10 ça fait du k^4/k^10= k^(-6)

mais si tu prends y=5+k et x=2+k ça fait du k^4/k = k^3

donc le même truc tu peux le faire tendre soit vers zéro soit vers l'infini. On voit bien qu'il n'y a pas de limite dans ces conditions.

[Ben314]

Salut,
je sais pas si ça t'aidera, mais perso, je fais systématiquement le changement de variable x=2+X , y= 2+Y dans ce genre de cas pour avoir (X,Y)->(0,0).
Ici, tu trouve où les termes ne "servent à rien" vu qu'il tendent "bètement" vers 10.
Ensuite, aprés avoir fait les tests "standards" : puis (et à la rigueur ) vu le dénominateur, il doit venir à l'esprit de prendre pour "équilibrer" le dénominateur.

[Jacques COLLOT]

J'ai essayé les deux méthodes et ça marche.
Un grand merci à tous les deux.
Entre temps, j'avais continué à chercher et j'ai trouvé que le changement fonctionne également.
Bref, encore merci. Un foi de plus nous venons de démontrer que du choc des idées jaillit la lumière!!!