Projection d'un cercle dans un plan quelconque

[Bernard.jopune]

Bonjour à tous,

Je me permets de solliciter votre aide pour le problème suivant.

-Soit un repère de référence R0 (O, ex, ey,ez)

- Soit un cercle C de rayon R et de centre O1 défini dans le plan R1(O1,ex1,ey1,ez1). Soit OO1 = a ex + b ey + c ez

- Soit un plan P défini dans RO par le vecteur normal V(xv, yv, zv) et passant par O.

Je souhaiterais obtenir l'équation de l'Ellipse correspondant à la projection orthogonale du cercle C dans le plan P, en fonction de xv, yv, zv, a, b, c (ou moins de paramètres...) afin de pouvoir calculer son aire.

Pourriez vous m'indiquer la démarche à suivre

Merci !

[Ben314]

Salut,
Je comprend vraiment pas gras à tes notations (en particulier " le plan R1(O1,ex1,ey1,ez1)" ???? R1 c'est un plan ou un repère ???)
Bon, sinon, la projection orthogonale d'un plan P1 sur un plan P2, c'est une application affine de P1 dans P2 et, comme toute application affine entre espaces euclidiens de dim 2, elle multiplie les surface par un certain rapport k (la valeur absolue du déterminant de la matrice dans des bases orthonormés)

Ici, le coeff. k vaut le cosinus de l'angle entre les deux plans, c'est à dire le cos de l'angle entre des vecteurs normaux V1 et V2 de P1 et P2.
De façon "calculatoire", tu as donc où désigne le produit scalaire.

Il est aussi façile de voir que, si ton cercle a pour rayon R, sa projection est une élipse de demi grand axe R et de demi petit axe kR.

[Bernard.jopune]

Bonjour Ben314,

Avant tout merci de ta réponse.
Je me suis embrouillé, R1 est bien un repère et non un plan... le cercle C est défini sur le plan (ey1, ez1). Mea culpa...

Si je suis ton raisonnement, la projection de mon cercle est donc une ellipse de demi grand axe R et de demi petit axe kR avec

k = (produit scalaire de (ex1, V))/(norme de ex1 * norme de V) et pour effectuer mon produit scalaire je dois exprimer ex1 dans Ro, c'est bien ça ?

[Ben314]

Oui, c'est ça,
En fait, il faut que tu exprime V et un vecteur directeur de ex1 dans une même base orthonormée.
Vu le contexte, il me semble que toute tes données "numérique" sont dans le repère R0 donc le plus simple est de faire le calcul dans ce repère.

[Bernard.jopune]

Ok merci !!!

Je vais tenter tout ça. merci encore de ton aide et bravo pour l'efficacité de ce forum !