égalité de loi par passage au sup

[kingsize]

bonjour,

on se donne deux suites X_n et Y_n de variables aléatoires réelles et on suppose que pour tout n, X_n et Y_n ont même loi. Peut-on affirmer que le sup {X_n, n€IN} et sup{Y_n, n€IN} ont même loi ?

Merci.

[Finrod]

Il peut y avoir des problèmes de dépendance, donc à priori, non.

Si tes deux suites sont des suites de va indépendantes, alors en calculant la fonction de répartition, on doit pouvoir le montrer.

[YLS]

Avec suivant une loi de Bernoulli , et pour tout , . Ainsi, est une suite de variables de même loi de Bernoulli, furieusement dépendantes entre elles (celles d'indice pair sont nulles quand celles d'indices impairs valent 1, et inversement).

Ensuite avec , suite de variables indépendantes et de même loi .

Dès que (on a donc au moins les 2 variables et ), la variable vaut toujours 1, alors que peut parfois être nulle (pour tous les évènements élémentaires tels que ).

[kingsize]

effectivement, il peut y avoir un problème si les suites ne sont pas indépendantes. Supposons alors que les deux sont indépendantes et ont même loi. Alors sup{X_k, k compris entre 0 et n} a même loi que sup {Y_k, k compris entre 0 et n}. En effet, les deux variables (X_0,..., X_n) et (Y_0,..., Y_n) ont même loi, et donc aussi f(X_0,..., X_n) et f(Y_0,..., Y_n) avec f(x_0,..., x_n) = (sup des x_i) qui est mesurable (au passage, n'y a-t-il pas un moyen plus rapide de montrer que les deux variables ont même loi?). Mais comment démontrer qu'on a la même loi si on passe au sup de tout les X_k et non pas seulement à un nombre fini ?

[Finrod]

Ici,, tu t'intéresse à la convergence en loi, donc il faut regarder les fonction de répartition et faire la limite.

Sous entendu la limite des fonction de répartition des sup finis.

[kingsize]

euh, on n'a pas encore vu la notion de convergence en loi. Il n'y a pas un moyen de procéder par des méthodes basiques?
J'ai pensé à construire une suite croissante ou décroissante d'événements et d'étudier la limite de la probabilité, mais en vain.

[Finrod]

La question que tu as posé porte sur les lois limite...

Donc, c'est de la convergence en loi.

Cependant, tu n'a besoin que de la définition ici. Regarder la convergence des fonction de répartition est, si on y réflechi, moins méchant que la moyenne des exo de proba.

La convergence en probabilité est potentiellement plus vache, je trouve.

[kingsize]

où vois-tu qu'il s'agit de loi limite ? D'ailleurs je ne sais pas même pas ce qu'est une loi limite. Et pourquoi tu me parles de limite de fonction de répartition ? je ne vois pas le rapport.
J'essaye de démontrer que le sup des X_n et le sup des Y_n ont même loi. En prenant le sup sur un nombre fini d'indices, c'est facile mais je coince lorsqu'il s'agit de considérer le sup sur l'ensemble des n entiers.

[YLS]

On pose , et les fonctions de répartition respectivement associées. On suppose les variables indépendantes.

Pour tout , on a :

(par indépendance)

Pas besoin d'aller plus loin pour voir qu'en écrivant de même en fonction des , et en voyant que ces dernières fonctions de répartitions sont respectivement égales aux (parce que suivant la même loi), on obtient l'égalité de et , autrement dit et ont même loi.

[Finrod]

C'est une loi ''limite'' car on prend le Sup sur N entier et donc ce sup dépend du comportement de pour tout n, donc aussi du ''comportement à l'infini'' de la suite.

(qui au niveau des loi est simple, vu que c'ést toujours la meme)