Majoration d'une fonction complexe

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sky-mars
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Majoration d'une fonction complexe

par sky-mars » 30 Mar 2010, 10:35

Bonjour tout le monde :)
Je souhaiterai montrer le résultat suivant:

quand R->
avec

J'obtients donc :

Comment minorer le dénominateur dans ce cas là s'il vous plaît ?
Merci :help: :help: :help:



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Ben314
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par Ben314 » 30 Mar 2010, 11:33

Peut être en utilisant le fait que (inégalité triangulaire)...

Edit : par contre, ta majoration est "trop grossière" et ne permet pas de montrer que l'inégrale tend vers 0 lorsque R->oo

Edit2 : Si, ta majoration marche, mais il y a une erreur de signe...
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sky-mars
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par sky-mars » 30 Mar 2010, 12:38



donc

mais bon après je me sens coincé à cause du sinus je peux pas utiliser le fait que pour


Quelle majoration tu pourrais me suggérer?

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Ben314
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par Ben314 » 30 Mar 2010, 13:38

Le sinus, il sert pas à grand chose : vu l'intervalle, il est positif donc, en supposant t réel positif, et sur tout l'intervalle.
Aprés, il doit faloir couper [0,pi] en deux morceaux pour utiliser le fait que est "trés grand" négatif lorsque t n'est pas trop proche de 0 ni de pi...
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alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 30 Mar 2010, 14:48

bonjour
comprends pas trop l 'intérêt de factoriser

l 'inégalité triangulaire suffit du R/ (R^2 +aR+b) permet de conclure sans découper.

l f(w) l =< 1/(l wl^2 -5lwl-6l)

sky-mars
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par sky-mars » 30 Mar 2010, 15:55

alavacommejetepousse a écrit:bonjour
comprends pas trop l 'intérêt de factoriser

l 'inégalité triangulaire suffit du R/ (R^2 +aR+b) permet de conclure sans découper.

l f(w) l =< 1/(l wl^2 -5lwl-6l)



Salut :)
Qu'en est-il du numérateur ? je veux dire le terme en exp( i t R(cos(@)+i sin(@) ) = exp(i t R cos (@) ) exp( - Rt sin(@) )

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 30 Mar 2010, 23:10

sky-mars a écrit:Salut :)
Qu'en est-il du numérateur ? je veux dire le terme en exp( i t R(cos(@)+i sin(@) ) = exp(i t R cos (@) ) exp( - Rt sin(@) )

oui je l'ai zappé son module celui que tu écris qui est inférieur à 1 puisque le sin est positif ici

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Ben314
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par Ben314 » 30 Mar 2010, 23:27

(Re)Salut : J'ai effectivement
1) Ecrit une connerie (je minorais l'exp par 1 au lieu de la majorer : j'ai modifié) ça, c'était une faute de frappe.
2) Dit une connerie : j'avais dans l'idée que l'on faisait une intégration sur un chemin en arc de cercle de rayon R et qu'il falait encore multiplier par la longueur du chemin...d'où le "tu doit couper en morceaux" qui est en fait nul et non avenu ici...
désolé.
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J-Fontanier
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par J-Fontanier » 30 Mar 2010, 23:31

Alors moi j'ai fais un changement de variable
j'ai posé [u=Rexp(i@)]->[du=Riexp(i@)d@]
Ainsi on obtient int(f(u)du,u=-R..R)

f(u)=exp(i@t)/(6-u^2+5iu)=exp(i@t)/(u-2i)(u-3i)=iexp(i@t)/(u-2i)-iexp(i@t)/(u-3i)
Voila mais le plus dur reste à montrer que int(iexp(i@t)/(u-2*i)du,u=-R..R)->0 pour R qui tend vers l'infinie.

sky-mars
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par sky-mars » 31 Mar 2010, 08:28

-C'est assez embettant ce lemme de Jordan...

-J-fontainier oui mais je vois pas trop l'intéret de refaire un changement de variable.
Le contexte de cet exercice est d'appliquer le théoreme des résidus.
J'ai décomposé mon intégrale en deux morceaux :

Et le second morceau serait égale à 0 quand R tend vers l'infini

:marteau: pas facile pour moi cet majoration :(

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Ben314
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par Ben314 » 31 Mar 2010, 11:05

Si ton problème est issu d'un problème d'intégrale sur un lacet, il est souvent bien plus joli (et moins chiant à écrire) de ne pas revenir à la définition d'une intégrale le long d'un chemin.
Ici, tu veut majorer et est le demi-cercle supérieur centré en 0 de rayon .
Tu écrit que, si est assez grand et , alors on a :
car et .
Tu peut alors majorer qui tend bien vers 0 lorsque tend vers l'infini.
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