Pour la question 1, si j'ai bien compris compris ta question se reformule ainsi : Pour k fixé, existe t-il M et N tel que
et
, autrement dit tel que N(N-1) soit multiple de
. ( tu rajoutes l'hypothese que N ne finit pas par 0, mais cette hypothese me semble superflue..). Comme N et N-1 sont premiers entre eux, ceci signifie que l'un de ces 2 nombres est multiple de
, et qu'un de ces 2 nombres est multiple de
. Comme
, on doit avoir en fait que l'un des 2 est multiple de
et l'autre de
. Traitons par exemple le cas ou N est multiple de
. On doit donc avoir
et
pour un certain (u,v), et donc
. Cette équation se résout de maniere classique grace à Bezout, et a une unique solution (u,v) telle que
, et donc telle que
soit plus petit que
. Il y a donc une unique solution N qui soit multiple de
. De la même maniere, il y a une unique solution N multiple de
. Au final, à k fixé il y a donc exactement deux N qui conviennent..
EDIT: par contre je me rend compte que ma solution ne dit pas si ces solutions N sont "propres", dans le sens ou elles pourraient a priori être plus petites que