V.a réelles indépendantes

[kingsize]

Bonjour,

soit X, Y, Z trois variables aléatoires réelles. On suppose d'une part que X et Z sont indépendants et d'autre part que Y et Z le sont. Peut-on affirmer que XY et Z sont indépendants ? Plus généralement, f(x,y) et g(z) sont-ils indépendants, avec f et g mesurables ?
Intuitivement, ça semble raisonnable, mais je n'arrive pas à le démontrer.

Merci.

[Sylviel]

Et pour cause : c'est faux. Lance deux pièces (X et Y) et regarde si elles ont la même face. Enfin, il me semble...

[Ben314]

Effectivement, avec deux pièces "normales", on fait déjà un contre exemple :
X=1/0 selon que la première pièce est Pile/Face
Y=1/0 selon que la deuxième pièce est Pile/Face
Z=1/0 selon que les deux pièces sont identiques ou pas
X et Z sont indépendantes ainsi que Y et Z mais,
comme XY=1 => (X=1 et Y=1) => Z=1, on a
p(XY=1 et Z=1)=P(XY=1) qui est différent de P(XY=1).p(Z=1)

[alavacommejetepousse]

bonsoir

comme quoi on voit bien que l indépendance mutuelle est requise