Olympiade Fraction egyptienne

[manon_n]

Bonjour.

C'était dans une olympiade académique alors j'ai cru bon de le metre ici.

Les fractions egyptienne est de la forme 1/n avec n entier naturel.

On veut montrer que tout nombre rationnel compris entre 0 et 1 est décomposable en somme de fractions égyptiennes dont les dénominateurs sont tous différents.

E(a,b) est le quotient de la division euclidienne de a par b et mod(a,b) le reste.

Alors il y a trois questions :

1) Avec 1<x<y et x/y irréductible. Montrer que :


2) Démontrer que cette formule permet de décomposer toute fraction x/y avec 1<x<y et x entier naturel et y entier naturel non nul en une somme de fraction égyptiennes.

3) Démontrer que toutes les fractions égyptiennes ainsi trouvées sont distinctes.


J'en suis à la première :marteau:

Merci de m'aider !!

[benekire2]

ba sa va te paraitre con-con mais il suffit de faire une quantité conjuguée et de réduire au même dénominateur ...

[Ben314]

Je préciserait que, au niveau des notations, si tu écrivait simplement q pour le quotient et r pour le reste, ça serait nettement plus lisible...
y | x
+-- avec y = q x + r
r | q

[manon_n]

A ba oui ...

Mé je précise que l'énoncé écrivait exactement pareil.

Maintenant comment faire pour la question suivante. J'arrive a montrer qu'on va avoir une séri de fractions egyptiennes mais pas que ça va s'arrêter .

Merci à l'avance

[Ben314]

Quand tu fait la division euclidienne de y par x le reste r est entre .. et ..
donc x-r est entre .. et .. et, par rapport au numérateur x dont on est parti, il est ... donc ...

[manon_n]

0
Le numérateur est donc forcément plus petit. Et ca devrait nous permettre de conclure je pense .. merci a vous.

Et après comment vérifier qu'elles sont toutes identiques ?

[manon_n]

Désolé, c'est comment montrer qu'elles sont toutes différentes ?

Je pense qu'il faut montrer que si on prend (x-mod(y,x)) /(y(E(y,x)+1)) et qu'on lui applique l'algorithme alors le dénominateur de la fraction egyptienne qu'on obtiendra sera forcément différent de celui de la première fraction.

Quelqu'un peut m'aider svp ?

[boumba daboum]

Bonjour Manon.

1/ Le numérateur x-r est entier, positif et décroissant.
Donc cela s'arrêtera un jour...

2/ x/y = 1/(q+1) + (x-r)/y(q+1)

Si tu démontres que (x-r)/y(q-1) est positif et plus petit que 1/(q+1), le dénominateur de l'étape suivante sera forcément plus grand que q+1...

[Ben314]

On part de irréductible et telle que où vu que .
On a alors donc
Sinon, avec donc et on recommence l'étape 2.

Le procéssus s'arrète car

[manon_n]

merci a vous deux. Juste une chose ben, quand il y a écrit x'/y' = ... c'est pas plutot x'/y'=1/(q'+1) +... ?

[Ben314]

merci a vous deux. Juste une chose ben, quand il y a écrit x'/y' = ... c'est pas plutot x'/y'=1/(q'+1) +... ?

Si : j'ai rectifié...