Intégrale TS

[lola45]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exo :

1. On pose pour tout entier naturel n non nul :
I(indice n) = (1/n!)intégrale de 0 à 1 de (1-x)^n e^-x dx

a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer I(indice 1).

b. Prouver que pour tout entier naturel n non nul,
0 En déduire la limite de I(indice n) lorsque n tend vers -infini

c. Montrer en utilisant une intégration par parties que pour tout entier naturel n non nul : I(indice n+1) = (1/(n+1)!)-I(indice n)

2. On considère la suite réelle a(indice n) définie sur N* par a(indice 1)=0 et pour tout entier n non nul :
a(indice n+1) = a(indice n)+((-1)^(n+1)/(n+1)!)

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n >ou= à 1 :
a(indice n) = (1/e)+(-1)^n I(indice n)

b. En déduire la limite de a(indice n) lorsque n tend vers +infini

Merci d'avance !!!

[lola45]

Personne pour m'aider ?? Je bloque a partir de la question 2 ...

[tigri]

bonsoir

pour intégrer par parties, tu choisis u'=e^(-x) et v= (1-x)^(n+1)

[lola45]

Merci beaucoup mais je n'arrive pas a tomber sur le bon résultat a la question 3.c.

et pour la question 2 pareil..

[fonfon]

Salut,

. Montrer en utilisant une intégration par parties que pour tout entier naturel n non nul : I(indice n+1) = (1/(n+1)!)-I(indice n)

comme te l'as dit tigri on pose

u(x)=(1-x)^n+1 donc u'(x)=-(n+1)(1-x)^n
v'(x)=e^-x donc v(x)=-e^-x

d'où In+1=(1/(n+1)!)([u(x)v(x)]entre 0 et 1 -int de 0 à 1 de u'(x)*v(x)dx)

effectivement jel'ai bien fait mais j'ai oublié le signe moins en tapant sur le clavier merci tigri je pense que j'aurai chercher un moment pour trouver mon erreur

[tigri]

bonjour
je pense qu'il y a une erreur de signe dans u' (car il faut dériver 1-x)

[lola45]

Pourriez-vous m'expliquer le calcul car je n'arrive pas a trouver le bon résultat...en tout cas merci beaucoup

[fonfon]

Re,

comme te l'as dit tigri on pose

u(x)=(1-x)^n+1 donc u'(x)=-(n+1)(1-x)^n
v'(x)=e^-x donc v(x)=-e^-x

d'où In+1=(1/(n+1)!)([u(x)v(x)]entre 0 et 1 -int de 0 à 1 de u'(x)*v(x)dx)

In+1=(1/(n+1)!)[0+1^(n+1)]-(1/(n+1)!)int de 0 à 1 de (-(n+1)*(1-x)^n*(-e^-x))dx=(1/(n+1)!)-((n+1)/(n+1)!)int de 0 à 1 de (1-x)^ne^-x dx=(1/(n+1)!)-(1/n)intde 0 à 1 de (1-x)^ne^-x dx=(1/(n+1)!)-In