Automorphisme

[kazeriahm]

Bonjour,

existe-t-il deux groupes non isomorphes tels que leur groupe d'automorhismes respectifs soient isomorphes ?

[Doraki]

Aut(Z/nZ) = (Z/nZ)* = Z/;)(n)Z, donc j'imagine que oui

Par exemple Aut(Z/3Z) = Aut(Z/4Z) = Z/2Z

[Ben314]

Salut,
Quels sont les groupes d'automorhismes de :
1) Le groupe additif "trivial" {0} ?
2) Le groupe additif (Z/2,+) ?

Petite question (à la con) : quels sont les couples (n,m) d'entiers non nuls tels que les groupes Aut(Z/nZ,+) et Aut(Z/mZ,+) soient isomorphes ?

[kazeriahm]

Ok ok merci pour l'exemple. En fait j'essayais de chercher un truc en partant du fait que S_3 (permutations de {1,2,3}) est isomorphe à son groupe d'automorphismes, en essayant de voir S_3 comme le groupe d'automorphismes de quelque chose... Mais bon.

Sinon les automorphismes de Z/nZ sont isomorphes au groupe d'inversibles de Z/nZ, qui est de cardinal f(n) avec f la fonction caractèristique d'euler. Donc je présuppute que Z/nZ est isomorphe à Z/mZ ssi f(m)=f(n) mais je n'en suis pas sur (ca doit pas être très dur à vérifier), et je ne sais pas comment caractériser l'égalité de f(m) et f(n) sur m et n...

[Ben314]

Pour la "question à la con", j'ai pas la réponse, et la condition que tu donne n'est pas suffisante : deux groupes (même commutatifs comme ici) de même cardinal peuvent ne pas être isomorphes...

Si tu veut des exemples moins "concon" que celui que je t'ai donné, tu peut regarder :
1) Aut(Z/3Z,+) ; Aut(Z/4Z,+) ; Aut(Z,+)
2) Aut(S3,o) (permutations) et Aut((Z/2Z)²,+)

Un truc rigolo (je trouve...) est aussi de comparer, pour n entier les groupes :
Aut(Sn) (permutations) ; Aut(An) (groupe alterné) ; Int(Sn) ; Int(An)
Où Int(G) désigne le groupe des automorphismes intérieurs, c'est à dire ceux de la forme x->axa^-1 pour un a fixé de G.
Le résultat est... un peu surprenant...

[kazeriahm]

Oui oui je sais bien que l'égalité des cardinaux ne suffit pas à assurer l'existence d'un automorphisme mais en l'occurence mon intuition aimerait bien que ca marche.

Et oui sinon concernant S_n, j'arrive à voir que S_3=Int(S_3)=Aut(S_3), est-ce que ca se généralise à S_n ? (la première égalité signifie isomorphisme)

Et est-ce que pour A_n on a Aut(A_n)=Int(A_n) as well ? Ce sont des résultats intéressants je trouve, et non pas des questions à la con ;)

[Ben314]

Pour les petites valeurs de n (1,2,3) il y a des cas particulier, par exemple Int(A3) est trivial vu que A3=Z/3Z est commutatif.

De mémoire (donc pas fiable...), pour tout n>3 on a
Sn=Aut(Sn)=Aut(An)=Int(Sn) et Int(An)=An
SAUF pour n=6 ou il y a un élément de Aut(Sn) qui n'est pas intérieur (unique à conjugaison par un élément de Int(Sn) prés)... : c'est ça le "truc bizare"...

P.S. évidement, tout les "=" sont des isomorphismes...