Problème sur la Loi Normale HELP !!

[jujube]

Bonjour, j'ai un exercice sur la loi normale mais je ne sais pas comment m'y prendre. Voilà l'énoncé :

Soit X une variable aléatoire continue définie sur R. Sa densité de probabilité est :
f(x)= k.exp(-2x²+8x+a)
Calculer la valeur de k et de a pour que X suive une loi normale.


Je pense qu'il faut utiliser la formule de la densité de proba qui est
f(x)= avec qui correspond à l'écart-type et m à la moyenne.
Mais après je ne sais plus quoi faire.

Merci de m'aider.

[girdav]

Salut,
à quelle propriété doit satisfaire l'intégrale de la densité?

[alavacommejetepousse]

bonsoir

puisque tu connais les densités normales il te suffit de mettre sous forme canonique ton trinôme et "d'identifier" ce qu 'il faut

pour ma part je ne connais qu 'une seule densite, celle de N(0,1) (la seule pour laquelle on a une table) et je m'y ramêne par changement de variables affine

[jujube]

J'ai développer la fonction exponnentielle de la loi de densité et j'obtiens
exp((-x²+2xm-m²)/(2*sigma²)) où sigma est l'écart type.
Ensuite je compare avec la densité de l'énoncé et j'ai
((-x²+2xm-m²)/(2*sigma²)) = -2x²+8x+a
ca me donne un système
2xm=8x
-m²=a
2*sigma²=1
Et je trouve donc m=4 et sigma= racine(1/2) et a=-16
Sauf que si on fonctionne comme cela on a -x²=-2x². Et je ne sais pas quoi faire avec ça. Je dois diviser tous mes résultats par 2 ???

Pour k j'ai trouvé, k =
Merci de m'aide

[alavacommejetepousse]

bon alors puisque tu as du mal

une seule densité à connaitre celle de N(0,1)

écris -2x^2 +8x+a = -2(x -2)^2 + a+8 et pose t = 2(x-2) changement de variables pour retrouver la densité de la loi N(0,1) dont on connait la valeur de l'intégrale.

[jujube]

J'ai vraiment besoin d'aide pour cet exo. J'ai mon partiel de maths dans quelques jours, et c'est le seul exo que je n'arrive pas à faire.

Si je fais mon changement de variable je trouve -t²+a+8. Et maintenant ??
Si je développe ma formule de densité, ça devient -x²+2xm-m². Je fais une comparaison et on a donc
-x²=-t²
2xm=a
-m²=8--> Impossible donc on a 2xm=8 et -m²=a
Et je fais comment pour arriver sur la densité de N(0,1). Je sais que pour faire le changement je dois faire (X-m)/sigma, mais ici je ne vois pas où.

Merci de m'aider encore une fois.

[alavacommejetepousse]

tu devrais trouver plutôt t^2 /2 + cst ds le nouveau trinôme

ensuite sépare les exponentielles et N UTILISE que la loi N(0,1) à savoir que

l 'intégrale de exp(-t^2/2) sur R vaut 1

tu trouves ce que doivent vérifier les constantes pour que l'intégrale de ta fonction vaille 1

[jujube]

Est ce que c'est possible de dire que puisque le trinome est -2(x-2)²+a+8 et qu'on doit obtenir une expression sous la forme (x-m)² alors il faut que a+8=0 donc a =-8.
Ca nous fait -2(x-2)²=(-1/2)*4*(x-2)²=(-1/2)*((x-2)²)/(1/4))=(-1/2)((x-2)/(1/2))²

Donc la moyenne est 2 et l'écart type est 1/2.