Problème concret !

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
francois57
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problème concret !

par francois57 » 26 Fév 2010, 01:00

Bonjour à tous les matheux,

Je suis nouveau ici et je me suis inscris car je suis confronté à un problème réel et concret dans ma vie. Les mathématiques peuvent m'aider à le résoudre, mais moi, je séchais les maths étant petit (ce que je regrette maintenant lol). Je compte donc sur vous.

Le problème est simple :

J'ai acheté un appartement et je cherche à le financer.
Pour cela, j'ai pris deux crédits.

L'énoncé de mon problème pourrait être le suivant :

Soit le crédit1 à un taux fixe t1 et M1 le montant emprunté avec ce crédit sur une durée D1 (D1 exprimée en mois)

Soit le crédit2 à un taux fixe t2 et M2 le montant emprunté avec ce crédit sur une durée D2 (D2 exprimée en mois)

Les mensualités X sont les mensualités générées par le crédit1 et les mensualités Y sont les mensualités générées par le crédit2.

De plus, je précise les contraintes suivantes :

X+Y=1012,5 (je ne peux donc pas dépasser 1012,5€/mois de mensualité en associant les deux crédits).
M1+M2 = 131800 (l'appart coûte 131800 € si vous avez donc compris)

Les taux des deux crédits ne sont donc pas des variables.
Les seules variables sont les durées d'emprunt D1 et D2 de chaque crédit et les montant empruntés M1 et M2.
Les mensualités X et Y dépendent uniquement de t1/M1/D1 pour le crédit 1 et de t2/M2/D2 pour le crédit 2.

Les mensualités sont calculées par la règle des intérêts composés.
J'ai trouvé une formule qui exprime la mensualité en fonction du montant emprunté, de la durée de l'emprunt et du taux.

La formule est la suivante :

X = M1*(t1/12)*(1/(1-(1/(1+t1/12)^(D1)))

Ce que je cherche à faire est simplement de trouver le minimum du coût du crédit. En sachant que le coût du crédit est simplement exprimé ainsi :

(X*D1-M1)+(Y*D2-M2) = coût crédit

Dans la mesure où je suis un esprit curieux et qu'il doit me rester quelques rudiments de maths, j'aimerais avoir la démonstration et la méthode et j'aimerais tracer sur excel le résultat graphique afin de faire varier.

A titre informatif, t1=3,28% et t2=4,04%

Des idées ?

Merci à vous en tous cas
François



vanhoa
Membre Naturel
Messages: 87
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par vanhoa » 26 Fév 2010, 06:55

slt ;)

es tu sur de ta formule?

normalement le principe de l'interet compose est de determiner une somme finale en fonction de la duree et la formule est la suivante:

M1final = M1(1+t1/12)^d1 pareil pour M2

normalement avec le principe d'interet compose on paie le montant final (Mfinal) et ainsi on peut faire la difference avec le montant initial (M) :

M1final - M1 + M2final - M2
=M1(1+t1/12)^d1 - M1 + M2(1+t1/12)^d2 - M2 (tu peux encore factoriser mais on s'en fout la)

et la courbe d'un interet compose est du type (1+t)^x (en fonction de x) donc elle est convexe (c'est a dire bombee vers le bas) donc en gros, plus x est grand, plus cela augmente vite (la montee s'accelere si tu preferes)! pour ton cas, plus d1 et/ou d2 est grand, plus tu paieras cher!

mais bon normalement avec un interet compose (surtout pour les placements) on ne s'interesse qu'a la valeur finale, donc je ne vois pas pourquoi tu parles de mensualites. tu dois verser quoi chaque mois?
tu peux me donner des precisions stp?

++

Van Hoa

vanhoa
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Messages: 87
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par vanhoa » 26 Fév 2010, 07:09

car en prenant ta formule, avec d1 = 20 mois, si je calcul ton X (soit ta mensualite (moyenne des 20 mois peut etre... car je ne voit pas ce que veux dire ta mensualite dans un interet compose)) je fait ensuite Xd1 pour avoir le resultat final (soit le M1final) et bien il est different du M1final trouve avec ma formule et je suis sur a 100% de ma formule pour l'interet compose (mais c'est peut etre simplement pour le placement... et pas pour les emprunts... je ne connais pas trop). donc pourquoi cette difference?

donne plus de precisions et je pourrai t'aider ;)

ciao

++

Van Hoa

francois57
Messages: 2
Enregistré le: 26 Fév 2010, 00:37

par francois57 » 26 Fév 2010, 20:04

Salut Vanhoa,

Déjà : merci de te pencher sur le problème.
Ensuite, pour essayer d'apporter un peu d'eau à ton moulin et ainsi clarifier les choses :

Après quelques recherches sur internet, il semblerait que le calcul des intérêts composés soit différent dans le cas où il s'agit d'un CREDIT (c'est à dire dans le cas où tu dois rembourser un certain montant chaque mois, d'où la raison pour laquelle je parle de MENSUALITE) ou dans le cas où il s'agit d'un PLACEMENT.

D'autre part, je te confirme l'exactitude de ma formule pour le calcul des mensualités. Je l'ai vérifiée sur Excel par rapport à des simulations faites par mon banquier, et je retombe bien sur les mêmes mensualités. D'ailleurs pour tout te dire, sur excel il existe même une fonction qui te calcule ça tout seul (fonction VPM).

Le lien ci-dessous sur Wikipédia te redonne la même formule dans le chapitre : "montant à l'échéance"

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_de_remboursement

En fait je veux emprunter 131800€ avec deux crédits.
Le 1Er crédit à un taux fixe de 3,28% et le 2nd un taux fixe de 4,04%
Je veux rembourser au total 1012€ par mois.

Pour cette fonction, il y a forcément un minimum qui me donne le coût du crédit le plus bas possible en modulant LES DUREES des crédits et les MONTANTS EMPRUNTES sur chacun des crédits. En sachant que M1+M2=131800 et X+Y=1012.

En résumé, l'énoncé peut se simplifier de la sorte : quelles sont les valeurs de M1, M2, D1 et D2 pour obtenir le coût du crédit le plus faible possible ? (avec comme contrainte : X+Y=1012 et M1+M2=131800)

Je peux difficilement être plus clair après, je sèche.

Merci
Cordialement,
François

vanhoa
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par vanhoa » 17 Mar 2010, 03:38

Salut,

dsl pour l'absence mais je suis assez occupe en ce moment.

J'ai regarde ton probleme et pour te l'expliquer il faudrait que l'on me dise comment faire pour ecrire des formules sur le forum, car si je dois le faire avec seulement les touches du clavier, ca va etre illisible!

sinon je vais etre oblige de faire des images et de les inserer a chaque fois, ce qui va etre long! mais je peux qd mm le faire, c'est juste qu'il faudra que je trouve du temps pour le faire tranquillement

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Olympus
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par Olympus » 17 Mar 2010, 15:19

vanhoa a écrit:J'ai regarde ton probleme et pour te l'expliquer il faudrait que l'on me dise comment faire pour ecrire des formules sur le forum, car si je dois le faire avec seulement les touches du clavier, ca va etre illisible!


Bonjour,

http://maths-forum.com/showthread.php?t=70548 .

vanhoa
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par vanhoa » 18 Mar 2010, 03:39

merci ;) donc des que j'aurais le temps de te rediger un truc bien je le ferai :) mais la j'avoue, j'ai beaucoup beaucoup de boulot

Quidam
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par Quidam » 19 Mar 2010, 11:35

Plutôt que de prendre t1/12 et t2/12 comme variables, il me semble que choisir r1=t1/12 et r2=t2/12 va simplifier les formules.

Tes formules sont exactes. Sauf que théoriquement le taux d'intérêts mensuel n'est pas le douzième du taux d'intértêt annuel. Mais je sais que les banques font le calcul comme cela, alors admettons.
Pour rembourser une somme en mensualités, il faut payer chaque mois .
Pour rembourser une somme en mensualités, il faut payer chaque mois .
Le coût du crédit est donc bien soit :



Ceci est donc un problème d'optimisation sur 4 variables : , , et . C'est donc un peu compliqué...

Mais un certain nombre de considérations peuvent réduire le nombre des variables.

D'une part, il y a la contrainte que tu as très justement transformée en : plus vite tu seras libéré de ta dette, moins tu paieras d'intérêts.

Il me semble également qu'avoir différent de n'est pas raisonnable : cela te conduirait à payer moins que le maximum que tu peux payer pendant les derniers mois, donc cela augmenterait les intérêts à payer.

Mais surtout, il ne faut pas oublier que le coût du crédit, c'est exactement les intérêts !

En empruntant au taux, et au taux, au bout d'un mois, tu dois payer en intérêts. Comme X+Y=1012.5, ta dette va diminuer de et comme , ta dette va diminuer de , soit de . Comme ta dette aura diminué plus vite le premier mois si est plus grand ! Je n'ai pas le temps de poursuivre l'analyse très longtemps, mais il me semble évident que tu as intérêt à diminuer ta dette le plus vite possible, pour diminuer les intérêts à payer, intérêts qui constituent exactement le coût du crédit. Par conséquent, je conclus en disant qu'il faut complètement délaisser le prêt le plus cher (à 4,04 %) et donc tout emprunter au taux !

Dans ces conditions, on a avec X donné, égal à 1012.5 et donné égal à 131800. Tu en déduis : .... Tu peux donc choisir le prêt 1 en remboursant en 162 mensualités de 1008,05. Cela te fera un coût du crédit de 31504,10.

Si tu veux faire une simulation, je te suggère de n'avoir qu'une seule variable. Avec , .



Etant donné que , pour chaque valeur de D, tu peux calculer et en déduire P. Tu devrais trouver que le minimum de P est obtenu pour D=162 !

Sauf erreur...

 

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