Le Rubik’s cube de Könisberg

[nuage]

Salut,
à mon avis c'est possible


[modification]
Mais finalement je me rend compte que je n'ai pas vraiment répondu à tes questions

[LeJeu]

C'est un bon début, mais ( ce n'était pas dit) une ligne passe par une facette doit se comprendre comme rentre par une des 4 cotés de la facette, ressort par une autre, comme je l'ai dessiné dans mon exemple.

Ça complique déjà un peu plus la manœuvre...

[nodgim]

C'est une bonne blague que tu nous fais là, il me semble...

[LeJeu]

Nodgim !

Non c'est une vraie question ! ( le livre / la phrase tout est vrai, j'ai juste ajouté "Könisberg" dans le sujet )

Je profite de ton post pour ajouter une question ( à placer avant ou après la 3)

Au vu de l'inventaire des facettes du cube mélangé, peut-il y avoir plusieurs cubes candidats 'théoriques' qui correspondent, et si oui, sont ils tous réalisables à partir de notre cube mélangé ?

Ps - Sinon , Nodgim, pour le 1° avril je peux vous en sortir qui 'sonnent' bien et sont des poissons, mais le 13 mars c'est du sérieux !

Ps - J'ai aussi vérifié si le cube existait sur Internet , à priori non, j'ai trouvé ca qui peut servir de matière première !

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[LeJeu]

Et un cube terminé ressemble à ça :

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(le dessin permet bien de voir les différents types d'arêtes, de coins, de centres)

[nodgim]

Quand je disais que c'était une bonne blague, je voulais dire que je ne voyais pas vraiment la difficulté du problème. Il s'agit d'un graphe à 54 sommets dont chacun d'eux est extrémité de 4 chemins. Le dessin que tu proposes est loin d'être la seule solution.
Une autre question, plus complexe celle là, me vient en tête: existe t il un tracé solution tel que l'ensemble des chemins non empruntés est aussi solution ? je pense que oui, puisqu'on en trouve pour le cube à 6 faces.

[nodgim]

Au vu de l'inventaire des facettes du cube mélangé, peut-il y avoir plusieurs cubes candidats 'théoriques' qui correspondent, et si oui, sont ils tous réalisables à partir de notre cube mélangé ?

Comprends pas cette question.

[LeJeu]

Quand je disais que c'était une bonne blague, je voulais dire que je ne voyais pas vraiment la difficulté du problème. I

Tout à fait d'accord Nodgim, il est facile de tracer une ligne fermée sur le cube , en deux essais et quelques secondes on y arrive.
( ce n'est pas ça qui est qualifié d'insoluble dans l'énoncé)

il y a cette façon là aussi

et bien d'autres encore

Et justement la question 2 demande: de combien de façons possibles on peut tracer cette ligne sur un cube ? ( deux tracés sont considérés différents si on ne peut pas passer de l'un à l'autre par une des 24 rotations possibles du cube )

[LeJeu]

Comprends pas cette question.

Avec un Rubiks cube mélangé ainsi :



on voit bien que l'on doit reconstituer :


Le but de la question 3 est de savoir ce que l'on peut essayer de reconstituer à partir de ce cube ( par exemple)



La question est donc de trouver dans l'ensemble de tous les lignes de la questions 2 celles qui sont faisables à partir d'un rubik's cube que l'on trouve mélangé.

(Et donc quels critères utiliser pour identifier les cubes faisables ?)

[nodgim]

Je ne sais pas si tu te rends compte de la complexité du problème du dénombrement des solutions. D'abord ce nombre doit être assez gigantesque, car il n'y a pas que les solutions où la ligne couvre toute une face et passe à la suivante; ceci n'est qu'un cas particulier.

[LeJeu]

Je ne sais pas si tu te rends compte de la complexité du problème du dénombrement des solutions. D'abord ce nombre doit être assez gigantesque, car il n'y a pas que les solutions où la ligne couvre toute une face et passe à la suivante; ceci n'est qu'un cas particulier.

Et oui! Nodgim, c'est le but de ce thread : comment démêlé l'écheveau! ( si tu regardes les travaux du dénommé Singmaster, tu verras que ce n'est pas franchement un amateur.. il y a même une conjecture (qui n'a rien à voir avec notre cube) pas encore démontrée ou infirmée qui porte son nom)

Pour revenir à notre problème , dénombrer est une chose, mais je pense qu'une esquisse de solution se dessine plutôt par une classification des solutions ( nombre de facettes centrales traversées par une ligne rectiligne , nombre de coins ...)

Ps : et nous sommes bien d'accord, j'ai simplifié le pb avec 'la ligne couvre toute une face et passe à la suivante' ! ! !

Ps - j'ai bien progressé sur le dénombrement en distinguant les deux cas : la ligne entre par un coté de la face et sort par le coté opposée ou par un coté adjacent"

[Ben314]

Salut,
je ne sais pas si tu continue les calculs, mais au départ, il y a une erreur : il n'y a pas 16 courbes possibles que l'on peut tracer sur une face (qui rentrent et qui sortent sur des cotés différents) mais seulement 10 car un de tes 8 "dessins" est une courbe qui rentre et sort par le même coté et certains autres sont leurs propres symétriques.
En fait, si tu te donne un "point d'entré" et un "point de sortie" non situés sur le même coté du carré ni sur un même angle (8x5 couples possibles) alors il y a toujours exactement 2 solutions.
Ensuite, étant donné un cube, si on veut tracer une ligne fermée passant une fois et une seule par chaque façe, à rotation du cube prés, il n'y a que trois solutions :
1) Tout droit ; à droite ; à gauche ; tout droit ; à droite ; à gauche.
2) Tout droit ; à gauche ; à droite ; tout droit ; à gauche ; à droite.
3) A droite ; à gauche ; à droite ; à gauche. ; à droite ; à gauche.
En regardant, à chaque changement de façe, si on passe par le coté "droit" ou "gauche" de l'arrête, cela permet de dénombrer le nombre de courbes recouvrant le cube avec tes contraintes.

Par rapport à ton problème de départ, il me semble quand même plus interessant de ne pas limiter les solutions à celles qui rentrent et sortent une seule fois de chaque façe : cette contrainte ne me semble ni trés naturelle, ni de nature à simplifier les calculs.
De plus, je n'ai pas trés bien compris ou est le problème : il me semble que, étant donné une disposition "mélangée" d'un tel cube, on peut faire un programme pas super compliqué qui regarde combien de solutions "théoriques"
(i.e. en démontant le cube) existent puis, parmi ces solutions, lesquelles sont "réellement" (i.e. sans démonter le cube) réalisables.

[LeJeu]

Salut Ben, je me sentais un peu seul ici..

Oui j'ai continué et je je suis d'accord j'ai bien trouvé

- qu'il n'y avait que 10 cas de faces
- et que sur une face il y avait exactement 2 façons de sortir par une facette donnée

- j'avais bien vu aussi qu'il n'y avait deux cas 'la ligne traverse une face' ( et alors la ligne traverse sur la face opposée de façon perpendiculaire), ou la ligne ne fait que 'tourner' à chaque face

Par contre je n'avais pas réussi à synthétiser et à voir les trois cas comme tu les décris : bravo

Donc on peut estimer le nombre de tracés de lignes = 3* (2*2)^6
(dans chacun des trois cas, pour chaque face: 2 facettes de sorties possibles et 2 façons de tracer une ligne vers cette facette)

Correct?

Maintenant il y a les lignes identiques par rotation du cube : une idée ?

Pour le cas de la ligne avec une face 'tout droit' on compte au moins deux fois trop de cas ( symétriques par une simple rotation du cube et de la face de 180°)

pour le cas de la ligne avec que des tournants j'ai du mal à voir ..