Topologie (sic)

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kazeriahm
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Topologie (sic)

par kazeriahm » 09 Mar 2010, 10:37

Bonjour à tous,

je suis un cours de topologie en ce moment et je bute sur un exercice qui m'a pourtant l'air très simple :

X et Y sont deux espaces topologiques. On dit qu'un point x est proche d'un ensemble A si x est dans la fermeture de A. Soit f une fonction de X dans Y et x un point de X.

Montrer que f est continue en x si et seulement si pour tout sous ensemble A de X, x proche de A implique f(x) proche de f(A).

Ca fait beaucoup penser à une caractérisation de la continuité par les suites dans le cas mètrique, mais bien évidemment tout ceci est hors de propos pour l'exercice.

Voilà si vous avez une indication à me donner ce serait fort sympathique, en fait je ne sais pas quelle "définition" de la continuité en un point adopter (sachant que dans mon cours, on dit que f est continue en x si pour tout voisinage N de f(x), f^-1(N) est un voisinage de x). Je n'arrive pas à passer de cette définition en terme d'ensemble initial à cette caractérisation directe (propriété dans X => propriété dans Y).

Merci d'avance.



Doraki
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par Doraki » 09 Mar 2010, 11:07

Pourrais-tu montrer que x est proche de A <=> tout voisinage N de x a une intersection non vide avec A ?

kazeriahm
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par kazeriahm » 09 Mar 2010, 13:44

Merci beaucoup, c'est clair maintenant.

kazeriahm
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par kazeriahm » 10 Mar 2010, 04:27

bon je reviens a la charge en fait : du coup l'indication de Doraki m'a bien aide pour montrer que f continue implique etc...

parcontre j'ai une coquille pour la reciproque et du coup je bloque, ca m'agace enormement !

Je considere un voisinage N de f(x), je veux montrer que f^(-1)(N) est un voisinage de x.

J'ai tente de vagues choses mais des le debut je suis sceptique sur mes chances d'aboutir : soit A une partie de X telle que x est proche de A (il en existe, X en est une). f(x) est proche de f(A) donc l'intersection de N et de l'adherence de f(A) est non vide et contient f(x),

donc f^(-1)(N inter adherence de f(A))=f^(-1)(N) inter f^(-1)(adherence de f(A)) est non vide et contient x.

Ceci est vrai pour toute partie A de X telle que x est proche de A, mais comment en deduire que f^-1(N) est un voisinage de x ?

merci d'avance, et desole pour la non utilisation du latex, je peux faire l'effort si c'est trop illisible

Nightmare
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par Nightmare » 10 Mar 2010, 05:08

Salut !

As-tu fait un dessin?

Le problème est de considérer N tout entier, il serait peut être plus intéressant de considérer un ouvert O contenu dans N et qui contient f(x), et essayer de montrer qu'alors est un ouvert de x. En fait, vu qu'on parle de fermeture dans l'énoncé, il serait encore plus intéressant de travailler avec des fermés. En passant au complémentaire, on voit qu'il s'agit simplement de montrer que si F est un fermé contenant f(x), alors son image réciproque est un fermé contenant x.

Passons à la pratique :
Soit F un fermé de Y contenant f(x). Montrons que est un fermé. Pour cela, il suffit de montrer qu'il est sa propre fermeture, ou autrement dit que tous les points proches de H sont en fait dans H !

Si l'on se fixe x proche de H, par hypothèse, f(x) est proche de f(H). Mais les points qui sont proches de f(H) sont aussi proche de F par définition, et puisque ce dernier est fermé, on peut en déduire que f(x) est dans F, ou encore que x est dans H !

:happy3:

kazeriahm
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par kazeriahm » 10 Mar 2010, 09:06

Merci beaucoup. En fait la plus "faible" structure dans laquelle j'avais travaille jusqu'à présent était l'espace métrique, et je suis fasciné de retrouver tous ces résultats uniquement avec des considérations ensemblistes.

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 10 Mar 2010, 10:37

bonjour

en effet et il est intéressant de savoir si une notion est liée à la métrique ou si elle est purement topologique

kazeriahm
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par kazeriahm » 16 Mar 2010, 04:10

en fait en y revenant, je vois pas comment montrer ce que tu dis Nightmare, a savoir que f continue en x equivaut a pour tout ferme F contenant f(x), f-1(F) est un ferme contenant x...

Nightmare
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par Nightmare » 16 Mar 2010, 04:25

Salut !

=> est un ouvert donc est fermée.

<= Soit V voisinage de f(x), f(x) n'est pas proche de Y-V, et donc f(x) n'est pas dans . Du coup, on peut trouver un voisinage W de x disjoint de . f(W) et sont disjoint, donc f(W) est dans V...

kazeriahm
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par kazeriahm » 16 Mar 2010, 05:41

Ouais non mais f est supposee continue que en x (l'element x dans l'ensemble X)

kazeriahm
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par kazeriahm » 16 Mar 2010, 22:11

Personne n'a d'idées ? :hein:

barbu23
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par barbu23 » 16 Mar 2010, 22:44

est -elle belle la vie là bà en nouvelle zaelande ? j'adore ce pays ! :happy3:

barbu23
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par barbu23 » 16 Mar 2010, 22:47

Montrer que revient à montrer, qu'il existe une suite dans qui converge vers
Maintenant ça devient facile de repondre à ta question ! n'est ce pas ? :happy3:

Doraki
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par Doraki » 16 Mar 2010, 22:50

Il faut raisonner par l'absurde :

Soit N un voisinage de f(x).
On suppose que pour tout voisinage U de x, f(U) n'est pas inclus dans N...

(ou alors prouver la contraposée, que f pas continue-avec-des-proche en x => f pas continue-avec-des-voisinages en x)

barbu23
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par barbu23 » 16 Mar 2010, 23:14

voiçi la preuve :
Par hypothèe :
, donc :
puisque est continue, , donc

kazeriahm
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par kazeriahm » 17 Mar 2010, 01:44

barbu, ton idee n'est elle pas valable uniquement dans le cas metrique ? il me semble que dans un espace topologique quelconque, la propriete x dans l'adherence de A n'implique pas l'existence d'une suite qui converge vers A. Puis ce que je veux prouver c'est la reciproque (f continue en x)

barbu23
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par barbu23 » 17 Mar 2010, 15:31

Oui, pour un ensemble topologique là où la notion de suite est abscente, on la remplace par la notion de base de voisinages denombrables ! c'est quasi la même chose que ce qui se passe par rapport à un espace metrique, sauf qu'ici on remplace les elements par des sous ensembles ! donc, à toi de trouver la version ensembliste ! :happy3:

legeniedesalpages
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par legeniedesalpages » 17 Mar 2010, 16:31

Salut

barbu23 a écrit:Oui, pour un ensemble topologique là où la notion de suite est abscente, on la remplace par la notion de base de voisinages denombrables ! c'est quasi la même chose que ce qui se passe par rapport à un espace metrique, sauf qu'ici on remplace les elements par des sous ensembles ! donc, à toi de trouver la version ensembliste ! :happy3:


Non, en fait dans un espace métrique tout point admet un système de voisinages dénombrables, ce qui nous permet d'avoir la caractérisation séquentielle de la continuité. Malheureusement tous les espaces topologiques n'ont pas cette propriété.

Pour résumer si la notion de suite est absente, la notion de base de voisinage dénombrable l'est aussi.

barbu23
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par barbu23 » 17 Mar 2010, 16:42

Il y'a des espaces topologiques qui sont muni d'une base de voisinages denombrables sont qu'ils soient necessairement des espaces metriques ! :happy3:
A mon avis, il est toujours possible de munir un espace topologique quelconque d'une base de voisinage denombrable. :happy3:

Nightmare
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par Nightmare » 17 Mar 2010, 16:45

Et il y a des espaces topologiques qui ne peuvent être munis d'une base de voisinages dénombrable... C'est pour ces espaces que ta preuve ne marche plus.

 

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