Cantor

[kazeriahm]

Bonjour à tous (bonsoir de Nouvelle-Zélande),

en décomposant en base 3 les éléments de [0,1], on a une bijection de l'ensemble de Cantor C vers {0,1}^N : les éléments de Cantor n'ayant que des 0 ou des 2 dans leur représentation en base 3, on associe à une décimale en base 3 0 si cette décimale est 0 et 1 si cette décimale est 2. C'est mal dit mais vous voyez ce que je veux dire.

Comment montrer que cette fonction est continue si {0,1} est muni de la topologie discrète ?

En fait il est facile de montrer que la réciproque de f est continue (si deux points dans l'ensemble de Cantor ont une distance inférieure à 1/3^n alors leurs n premières décimales sont égales), et la plupart du temps l'argument pour montrer que f est continue consiste à utiliser le fait que 0,1}^N est compact et que ... mais cet argument ne me convient pas, j'aimerais, si possible une preuve directe de la continuité de f.

Vous avez une idée ?

Merci d'avance (après j'arrête avec les questions topologiques, au moins pour un petit moment).

[ffpower]

C'est plutôt f dont tu as montré la continuité là, et tu cherches une demo pour la réciproque..Mais ce sens là est aussi facile que l'autre. Si on a 2 suites de {0,1}^N à distance inferieure à 1/2^n, don dont les n premieres coordonnées sont égales, alors les réels images sont proches l'un de l'autre ( précisément de distance inferieure à 2/3^n )

[kazeriahm]

Oui autant pour moi, parcontre je suis sensé résoudre cet exercice sans utiliser de distances (et donc ni de compacité, espace séparé, etc...)...

[Doraki]

C'est quoi la topologie sur {0;1}^N ?
U est ouvert ssi pour tout x de U, il existe m tel que U contienne l'ensemble des suites dont les m premiers termes sont identiques à ceux de x ?

[ffpower]

Oui Doraki, c'est ca. Et Kazerhiam: tu vois bien que dans ma demo j'utilise pas vraiment la métrique. Seulement que si les 2 suites ont mêmes premiers éléments, alors leurs images sont proches..

[kazeriahm]

Merci beaucoup, et desole pour les confusions que je peux faire.