Topologie produit

[kazeriahm]

Bonjour à tous,

j'ai encore une question en topologie (et plusieurs autres en fait) sur un exo :

est une famille d'espaces topologiques, montrer que si est une partie de alors , en travaillant avec la topologie produit.

J'ai réussi à montrer que l'ensemble de gauche était inclus dans l'ensemble de droite mais pas l'autre sens.

Si vous avez des pistes pour cet exo qui encore une fois semble très basique...

[alavacommejetepousse]

bonjour
on peut travailler par équivalence

pour l inclusion de droite :
soit x ds le produit des adhérences , x = (xa) avec xa dans Xa
prenons V un voisinage de x

V contient un ouvert U contenant x , U contient un pavé ouvert P contenant x,P est le produit d'ouverts Pa , ( en fait on peut d'emblée à prendreV sous la forme de P) ,xa par définition est dans l'adhérence de Aa,
Pa étant un voisinage de xa Pa rencontre Aa donc P rencontre le produit des Aa donc x est dans l'adhérence du produit