Intégrale d'une fonction définie presque partout

par **kingsize** » 11 Mar 2010, 17:34

Bonjour,

on se fixe un espace mesuré (omega, tribu sur omega, mesure sur omega), et on considère une fonction f à valeurs réelles (ou complexes, peu importe) qui est seulement définie presque partout. Quel sens peut-on alors donner à la phrase "f est intégrable sur (omega, tribu sur omega, mesure sur omega)" ? D'après les références que j'ai consultées, cela veut dire que si on prolonge f en lui affectant des valeurs arbitraires (par exemple 0) sur un ensemble négligeable, alors ce prolongement est intégrable et l'intégrale ne dépend pas du prolongement de f, et on l'appelle intégrale de f sur omega.

Mais il y a juste une chose qui me gêne: est-on sûr que le prolongement de f sur omega est mesurable ?

Merci.

par **Nightmare** » 11 Mar 2010, 17:37

Salut !

Eh bien déjà, il faudrait plus de suppositions sur f, par exemple qu'elle soit mesurable ! Ensuite effectivement alors le prolongement l'est aussi.

par **Arkhnor** » 11 Mar 2010, 17:42

Salut.

Oui, le prolongement est mesurable, du moment que l'espace mesuré est complet.
Si l'espace n'est pas complet, mais que le domaine de définition initial de la fonction est mesurable, ça marche aussi, si l'on prolonge de manière "correcte", par exemple en posant 0 ailleurs.

Pour vérifier (et comprendre) ce que j'affirme, le mieux est de l'écrire : on prend un borélien B de R, et on regarde son image réciproque, en écrivant

, où N est le complémentaire du domaine de définition (négligeable, par hypothèse)
Si l'espace est complet, ou si N est par hypothèse mesurable et si f restreinte à N est mesurable (par exemple constante égale à 0), ça fonctionne donc !

Edit : Il faut bien sur que f soit mesurable, comme le souligne Nightmare.

par **Ben314** » 11 Mar 2010, 17:44

Salut,
Un petit rappel aussi concernant une fonction "définie presque partout" : L'ensemble des points où elle n'est pas définie est négligable, donc mesurable et de mesure nulle.

Pour peu que l'on ait pris le soins de compléter la tribu et la mesure, toute partie contenue dans une partie négligeable sera elle même mesurable et de mesure nulle.
Tu peut donc la prolonger absolument comme tu veux, cela ne changera pas sa mesurabilité.

par **kingsize** » 11 Mar 2010, 17:53

Nightmare a écrit:Salut !

Eh bien déjà, il faudrait plus de suppositions sur f, par exemple qu'elle soit mesurable ! Ensuite effectivement alors le prolongement l'est aussi.

mesurable sur (D, tribu trace de omega sur D), c'est bien ça ? Avec D=ensemble de définition de f.

par **Arkhnor** » 11 Mar 2010, 19:05

Oui, il faut que f soit mesurable pour la tribu trace.
Mais pour s'assurer que le prolongement est mesurable, on doit prendre quelques précautions, comme on te l'a indiqué.

par **kingsize** » 12 Mar 2010, 03:31

merci, tout devient beaucoup plus clair

Intégrale d'une fonction définie presque partout

intégrale d'une fonction définie presque partout

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