Fonctions continues

[cdou]

bonjour tout le monde!voila je suis en prépa maths sup en pcsi et je bloque sur un exercice des fonctions continues.Voici l'énoncé:

Soit f une application continue de [0,1] vers R vérifiant f(0)=f(1).
Montrer qu'il existe a dans [0,1] tel que f(a)=f(a+1/2)

je me suis fait un dessin j'ai bien constaté que cela marché mais je ne sais pas par ou commencer!voila!merci d'avance pour votre aide!a bientot

[gigamesh]

Tu peux poser h(x) = f(x+1/2)-f(x) pour x dans [0;1/2].
Combien vaut h(0) ? Et h(1) ? h est-elle continue ?
Tu peux distinguer deux cas :
*si f(1/2)=0 alors on a fini
* sinon ...

[Dihtbscii]

Tu peux voir le probleme de cette façon :
Considère la fonction translatée f(x-1/2)=g(x) sur [1/2,1]
Tu dois alors montrer que ta fonction f coincide en au moins un point avec cette derniere sur [1/2,1].
Si f(1/2)=f(0) c'est terminé
Si f(1/2)>f(0), alors f(1/2)>g(1/2) et f(1)Si f(1/2)g(1)

Pour ces deux derniers cas tu peux considérer la fonction f-g et montrer qu'elle s'annule sur ]1/2,1[... :++:

[cdou]

merci beaucoup

[cdou]

merci mais j'ai du mal à bien rédiger les deux derniers cas!!

[Ben314]

Je ne sais pas quelle indication tu as suivi...
Celle de gigamesh permet de conclure légèrement plus vite, mais il à fait une faute de frappe : il faut (évidement) lire
"Combien vaut h(0) ? Et h(1/2) ? h est-elle continue ?"
Dans tout les cas, pour la rédaction, c'est simple : tu utilise le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas simplicime :
"si une fonction continue change de signe sur un intervalle, alors elle s'annule au moins une fois sur l'intervalle"

[gigamesh]

Oops !
Merci Ben !