Vieux sujet non résolu

[Vuze49]

Bonjour,
je déterre un vieux poste que j'avais fait à propos d'un problème que je n'ai toujours pas réussi à résoudre.

Problème : on part d'un triangle ABC non aplati et on souhaite placer E sur [AB] et F sur [AC] tels que BE=EF=FC. Quelle est la méthode de construction pour placer ces points?

Évidemment si le triangle est isocèle, on applique Thalès et c'est facile, mais comment faire dans le cas général?
PS : je cherche juste une méthode de construction et pas une preuve "technique" (même si c'est lié!)

[dudumath]

Tu peux écrire que:

EF²=FC²=EB²
avec
pareil pour les 2 autres

Tu peux aussi écrire que E(resp F) appartient à la droite (AB) (resp (AC))
i.e



cela te donne assez de relation pour avoir une expression des coordonnées de E et F en fonction des points A , B et C

[Ben314]

Salut,
Perso, je suis parti de AB=b ; AC=c ; angle(BAC)=alpha ; BE=CF=x et j'ai écrit Al-Kashi dans le triangle AEF pour calculer EF².
J'ai écrit ensuite que l'on voulais que EF²=x² et ça me donne une équation du second degrés [sauf si alpha=pi/3 où elle est du premier degrés]

Avec ça je peut proposer une construction longue et peu esthétique à la règle et au compas...
Je n'ai rien trouvé de "court et esthétique"...

[Vuze49]

Tu peux écrire que:

EF²=FC²=EB²
avec
pareil pour les 2 autres

Tu peux aussi écrire que E(resp F) appartient à la droite (AB) (resp (AC))
i.e



cela te donne assez de relation pour avoir une expression des coordonnées de E et F en fonction des points A , B et C

J'ai essayé cette méthode en prenant le repère (B, , ) et cela n'a pas marché.
Mais c'est parce que la formule n'est valable que dans un repère orthonormé (provient du produit scalaire). Quel repère proposes-tu d'introduire pour cette méthode?

[Ben314]

Tient, à force j'ai une (asez) jolie construction à la règle et au compas du point en question.
Outils à utiliser :
- Composition translation-rotation => rotation
- Lieu des points M tels que AM=kBM => cercle (ou droite si k=1)
Je laisse chercher...

[Il y a effectivement un cas particulier si l'angle en A vaut pi/3]

[Vuze49]

Merci beaucoup Ben , je cherche depuis hier mais je n'ai pas encore trouvé,....j'espère avancer ce soir!!!

[Ben314]

H = intersection de l'arc de cercle BAC et de la médiatrice de [BC]
O = intersection de (HB) et de la droite passant par C faisant un angle alpha=BAC avec (CB)
E = intersection de (AB) avec le cercle centré en O passant par C.

[dudumath]

J'ai essayé cette méthode en prenant le repère (B, , ) et cela n'a pas marché.
Mais c'est parce que la formule n'est valable que dans un repère orthonormé (provient du produit scalaire). Quel repère proposes-tu d'introduire pour cette méthode?

Je t'ai donné la méthode la plus "bourrin", préfères la méthode de Ben qui sera bien plus élégante et plus rapide