Idéaux, anneau quotient
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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lapras
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par lapras » 06 Mar 2010, 19:29
Bonsoir,
je débute dans le domaine des idéaux. J'ai quelques difficultés. En gros j'étudie les anneaux comme celui des entiers de gauss, Z[iV5], etc...
Je me donne
, et je pose
. Je note
une racine de
.
Soit
(enfin dans la derniere égalité il y a un isomorphisme).
Mon but : trouver les idéaux premiers de
contenant
où
premier dans
.
Il semblerait que la réponse soit les
où
facteur irréductible de
dans
.
(en projetant tout modulo p, en passant dans les polynomes...)
Mais ca ne me semble pas intuitif, avez vous une démonstration naturelle ?
Lapras
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yos
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par yos » 06 Mar 2010, 19:54
Ca dépend de d :
- Il se peut qu'il y ait que
(et on dit que p est inerte dans l'extension
);
- il se peut qu'il y en ait deux
et
distincts et du coup
(et on dit que p est décomposé);
- il se peut qu'il y en ait un seul P différent de
et du coup
(et on dit que p est ramifié).
Tout ça dans le cas où
est l'anneau des entiers de
.
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yos
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par yos » 06 Mar 2010, 20:03
lapras a écrit:Il semblerait que la réponse soit les
où
facteur irréductible de
dans
.
Je crois qu'il faut, comme je l'écrivais plus haut, que
soit la clôture intégrale de Z dans
. Sinon je doute.
La preuve est juste un peu délicate au niveau des arguments algébriques.
Sinon c'est assez facile à retenir : la décomposition du nombre premier p se reflète dans celle du polynôme minimal de -d modulo p.
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lapras
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par lapras » 06 Mar 2010, 22:47
Je précise que Z[theta] est l'anneau des entiers de Q(theta).
Je ne sais pas ce qu'est la cloture intégrale...
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yos
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par yos » 07 Mar 2010, 18:57
lapras a écrit:Je précise que Z[theta] est l'anneau des entiers de Q(theta).
Je ne sais pas ce qu'est la cloture intégrale...
C'est pas toujours le cas : c'est le cas quand -d est congru à 2 ou 3 modulo 4 (à vérifier). dans l'autre cas (-d congru à 1 modulo 4), l'anneau des entiers est
.
Dire que B est l'anneau des entiers d'un corps L extension de Q revient à dire que B est la cloture intégrale de Z dans L.
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Ben314
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par Ben314 » 07 Mar 2010, 20:23
Salut,
Sauf erreur de ma part, si A=Z[X]/(Q) [avec Q irréductible sur Z[X] pour que A soit intègre] et que I est l'idéal engendré par p et M(theta) où p est premier, M un polynôme de Z[X] et theta l'image de X dans la surjection cannonique de Z[X] dans Z[X]/(Q), alors on a isomorphisme entre :
1) A/I
2) Z[X]/(p,Q,M)
3) Fp[X]/(Qp,Mp) où Qp, Mp désignent les images de Q et M par la surjection cannonique de Z[X] dans Fp[X] (i.e. les réductions modulo p)
4) Fp[X]/(pgcd(Qp,Mp))
On a alors :
I est premier <=> A/I est intègre distinct de {0}
<=> pgcd(Qp,Mp) irréductible dans Fp[X] et distinct de 1
P.S. Il me semble que, pour l'exercice, cela ne change rien que Z[theta] soit ou pas l'anneau des entiers de Q[theta]
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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