Equation exponentielle

[bts_ig]

Bonjour,

J'ai un doute concernant la résolution de l'exercice suivant:

f(x) = x.e^(-x)

on me demande de montrer que l'équation f(x)= - 0.5 n'admet aucune solution dans l'intervalle ]0;+infini] et qu'elle admet une unique solution dans l'intervalle ]-infini;0[.

J'ai résolu l'exercice de la manière suivante:

x.e^(-x)= -0.5
x/e^(x) = -0.5
x= -0.5.e^(x)

Donc e^x > 0 et -0.5e^x < 0. L'équation x.e^(-x)= -0.5 admet une unique solution dans l'intervalle ]-infini;0[

Après je ne sais pas comment résoudre cette equation mais je pense qu'en BTS on n' pas le niveau nécessaire pour résoudre ce type d'équation.

- On dit que cette solution est égal a A. Montrer que -0.36Dans ce cas je le prouve de la manière suivante:
-0.36-0.36<-0.5.e^(x)<-0.35
0.72>e^(x)>0.7
ln(0.72)>ln(e^(x))>ln(0.7)
ln(0.72)>x>ln(0.7)

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si mon raisonnement est correct?

Merci d'avance pour votre aide

BTS_IG

[greg78]

Pour la première question je pense qu'on attend plutôt qu'un théorème de bijection soit invoqué.

Pour ce qui est de la seconde, il faut juste a mon avis montrer que pour x=-0.36 on a x.exp(-x)<-0.5 et pour x=-0.35 x.exp(-x)<-0.5 donc par continuité c'est qu'on a bien -0.36

[Black Jack]

Etudie les variations de f(x) sur [0 ; +oo[

f '(x) = ...

f(0) = ...
lim(x -> +oo) f(x) = ...

Tu devrais pouvoir conclure de cette étude que f(x) > 0 sur [0 ; +oo[ et en déduire qu'il n'y a pas de valeur de x sur R+ pour laquelle f(x) = -0,5
*****
Etudie les variations de f(x) sur ]-oo; 0[

f '(x) = ...

lim(x -> 0-) f(x) = ...
lim(x -> -oo) f(x) = ...

Tu devrais pouvoir conclure de cette étude qu'il y a et une seule valeur de x sur R*- telle que f(x) = -0,5
*****

:zen:

[bts_ig]

Merci pour vos réponses :)