Chute libre et équation différentielle

[reussite]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un léger problème au niveau de la résolution de l'équation différentielle. Voici l'exercice en question:



C'est la question 5) a) qui me pose problème: en effet, j'ai établit que l'équation diférentielle vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau sucrée/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille)) x vy(t)

Cependant je n'arrive pas à résoudre correctement cette équation.
Si vous pouvez m'aider ce serait agréable et gentil de votre part

Merci à vous et bon week-end

[Sa Majesté]

Salut

L'équation différentielle y = ay + b se résout par y = Ce^(ax) - b/a

[reussite]

Mais le problème est que je n'ai jamais étudié ni en math ni en physique ce que vous m'avez dit. N'y a t il pas une autre méthode?

[reussite]

Alors j'ai essayé de faire quelque chose grâce à vos pistes extras j'espère que c'est juste:
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient:
-B x C x e(-Bt) = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*(vl + C x e(-Bt))
A partir de là je ne vois pas comment je peux vérifier l'équation

Merci encore

[Black Jack]

C'est beau de demander de t'aider pour une question, mais on a besoin de ce qui a été fait dans les questions précédentes ...
Et tu ne dis pas ce que tu as trouvé pour ces questions.

Si je ne me trompe pas, tu aurais du trouver ceci dans les questions précédentes:

A = [g - V.Rhoeausucrée.g/m]
B = k/m
VL = (m - V.Rhoeausucrée).(g/k)

5a)
vy(t) = VL + C.e^-(Bt)
dvy/dt = -BC.e^-(Bt)

Si vy(t) = VL + C.e^-(Bt) est solution de l'équation diff, alors :
dvy/dt = A - B.vy(t)
dvy/dt + B.vy(t) = A
-BC.e^-(Bt) + B.(VL + C.e^-(Bt)) = A
B.VL = A

Donc il suffit de vérifier si on a bien B.VL = A avec ce qui a été trouvé avant pour A, B et VL pour pouvoir écrire que vy(t) = VL + C.e^-(Bt) satisfait bien l'équation différentielle.

:zen:

[reussite]

C'est beau de demander de t'aider pour une question, mais on a besoin de ce qui a été fait dans les questions précédentes ...
Et tu ne dis pas ce que tu as trouvé pour ces questions.

Si je ne me trompe pas, tu aurais du trouver ceci dans les questions précédentes:

A = [g - V.Rhoeausucrée.g/m]
B = k/m
VL = (m - V.Rhoeausucrée).(g/k)

5a)
vy(t) = VL + C.e^-(Bt)
dvy/dt = -BC.e^-(Bt)

Si vy(t) = VL + C.e^-(Bt) est solution de l'équation diff, alors :
dvy/dt = A - B.vy(t)
dvy/dt + B.vy(t) = A
-BC.e^-(Bt) + B.(VL + C.e^-(Bt)) = A
B.VL = A

Donc il suffit de vérifier si on a bien B.VL = A avec ce qui a été trouvé avant pour A, B et VL pour pouvoir écrire que vy(t) = VL + C.e^-(Bt) satisfait bien l'équation différentielle.

:zen:

Merci à vous: j'avais trouvé une autre méthode il y a 10 minutes environ:

--> a) On dvy/dt = (vy)'
= -B x C x e(-Bt)
--> b) On a vl = A/B (voir question 4 pour démonstration)
Or vy(t) = vl + C x e(-Bt)
D'où vy(t) = (A/B) + C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle simplifiée (dvy/dt = A - Bvy(t)), on obtient:
dvy/dt = A -B((A/B) + C x e(-Bt))
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)

--> On obtient donc la même égalité dans a) et b) ce qui démontre l'égalité.

Donc l'équation différentielle admet des solutions de la forme vy(t) = vl + Ce(-Bt).

Est-ce aussi correct ou n'y-a-t-il que votre manière qui fonctionne?
Merci encore