Débloquage mais c'est pas encore fini

[Serax]

Bonjour, j'ai posté ce problème il y a quelque jour, mais, aucune réponse. Donc, je me suis débrouillé seul pour me débloquer. Résultat ? Ça a avancé, à présent, au lieu d'avoir 2 valeurs, j'en ai 3.
Je vous remets l'énoncé et explique ce que j'ai trouvé.

On considère un triangle ABC tel que BC = 126 cm. On trace la bissectrice de l'angle B C A (désolé, je n'arrive pas à mettre le "^" sur le C); elle coupe [AB] en M. La parrallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. On sait que, MN = 47cm. Calculez AN (valeur exacte).

La figure:
http://s2.noelshack.com/uploads/images/11534444010243_triangle_exercice_1.jpg

Alors, au départ, nous n'avons que 2 mesures, BC et MN. Cependant, si je prends le triangle CMN, eh bien, celui-ci est isocèle (désolé si sur ma construction, cela ne se remarque pas), CN = MN et mon prof de math l'a confirmé mais m'a demandé de dire pourquoi il était isocèle. Donc, de ce côté, je voudrai bien une aide.
Mais, le plus important, est la partie Thalès, où, nous avons un quotient un peu plus débloqué mais je trouve que les résultats ne sont pas cohérents, je m'explique:

Je fais le quotient;
CA/CN = BA/BM = BC/MN
CA/47 = BA/BM = 126/47
Si je fais le produit en croix 126 x 47/47, j'obtiens bah 126 pour CA. Jusque là, ok (ou pas ?) mais quand je fais l'égalité qui m'intéresse, c'est à dire:

AN/AC = AM/AB = MN/BC
AN/126 = AM/AB = 126/47
Mon problème, est que, j'ai un quotient qui est complètement inconnu, il y a un moyen de trouver ne serait-ce qu'une seule valeur de ce quotient à partir de MN/BC ou du quotient incomplet qu'est AN/126 ? Ou il y a une autre méthode pour y parvenir ?

[alessan13]

Les angles NMC et MCB sont alternes internes et tu as (MN)//(BC), en partant de là, tu devrais trouver comment prouver que le triangle MNC est isocèle.

Ton calcul de AC est faux.
Pour l'égalité de Thalès, tu t'es trompé. Il faut prendre les côtés des triangles ABC et AMN. Donc :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Tu peux écrire la longueur AC en fonction des longueurs AN et NC (AN, c'est ce que tu cherches et NC, tu le connais) après tu fais ton produit en croix et tu obtiens une équation à résoudre.
Le quotient totalement inconnu ne te sers à rien, tu n'as pas à t'en occupé pour résoudre ton problème.

[Serax]

Une équation ?

"Tu peux écrire la longueur AC en fonction des longueurs AN et NC (AN, c'est ce que tu cherches et NC, tu le connais) après tu fais ton produit en croix et tu obtiens une équation à résoudre."

J'ai bien peur de ne pas avoir compris cette phrase, le seul produit en croix que je peux faire serait avec AN/AC = BC/MN soit AN/47 = 126/47. Je ne vois pas vraiment où je dois en venir.

[alessan13]

Cette phrase signifie que AC= AN + NC

La valeur 126 pour AC est fausse.
Dans ton quotient AN/AC = MN/BC, tu remplaces AC par l'égalité AN + NC
puis par les valeurs que tu connais.
Ensuite tu fais ton produit en croix. C'est à ce moment que tu obtiens une équation. Tu as juste à la résoudre.

[Serax]

Ok, donc, je fais ce calcul:
AN/ (AN + NC) = MN/BC
AN/ (x + 47) = 47/126
Nous sommes d'accord ?

[alessan13]

oui, c'est ca et ensuite le produit en croix.

[Serax]

Question: Si je fais le produit en croix, en "oubliant" le 47 existant, je me retrouve avec un autre 47, je fais la somme, je me retrouve avec 94. J'ai bon ou j'ai zéro ?

[alessan13]

non, c'est pas ca. Fais ton produit en croix normalement!

[Serax]

Ca me ferait un truc du genre:
AN=47 x (47 + x)/126
AN= 2209 + 47x/126

SI j'me suis pas trompé jusque là, mon souci est: je n'arrive plus à supprimer le x de cette équation, trou de mémoire oblige...

[alessan13]

AN = x
Ton équation c'est donc :
x = (2209 + 47x)/126
Tu n'as plus qu'à la résoudre.

[Serax]

Désolé du temps de réponse, j'étais occupé ailleurs. Bref.
Pour l'équation, je veux bien, mais je ne vois pas comment la résoudre, le /126 me gêne, c'est quel type d'équation au juste ? Que je puisse aller réviser parce que là, je me fais peur...

[alessan13]

Il faut supprimer le dénominateur. Tu n'as donc qu'à multiplier les deux membres par 126.

[Serax]

S'bon !
47/126x + 2209/126 = x

x = 2209/79
Non ?

[alessan13]

C'est bon, tu as trouvé!

[Serax]

Merci pour ton aide ! Tu me permets de me reposer un peu là... Bonne après-midi !