Groupe Spécial othogonal

[kat]

Bonjour,

j'aimerais démondrer que les demi-tours engendrent SO(3).

Merci d'avance pour l'aide.

[Nightmare]

Salut,

il s'agit donc de montrer que toute rotation est composée de retournement. As-tu une idée ? (Faire un dessin peut aider !)

[Ben314]

Salut,
Les élément de SO(3) sont les rotations vectorielles, or que se passe t'il lorsque l'on compose deux demi tours d'axe D1 et D2 tels que l'angle entre D1 et D2 et D2 soit alpha/2 ?

[kat]

J'ai fait un dessin, mais j'ai du mal à visualiser.
J'ai essayer de me reporter dans le plan et traçant le plan orthogonal à l'axe de la rotation.
Je dirais que la composé de deux demis-tours d'axes sécants D1et D2 formant un angle alpha/2 est une rotation d'angle alpha... (résultat déjà connu dans l'espace affine).
Finalement un demi-tour est une réflexion par raport à l'axe de la rotation ?!

[Ben314]

Je dirais que la composé de deux demis-tours d'axes sécants D1et D2 formant un angle alpha/2 est une rotation d'angle alpha... (résultat déjà connu dans l'espace affine).

C'est effectivement ça : dans le plan contenant les deux axes (qui est stable par les deux demi tours) on retrouve le cas connu de deux réflexions du plan et, sur la droite vectorielle orthogonale à ce plan, les deux demi tours se compensent muturellement et leur composée fait l'identité.

[kat]

et, sur la droite vectorielle orthogonale à ce plan, les deux demi tours se compensent muturellement et leur composée fait l'identité.

Je n'ai pas compri la dernière phrase : c'est un retour dans l'espace ?

[Ben314]

Je n'ai pas compris la dernière phrase : c'est un retour dans l'espace ?

Oui : On étudie l'action des deux demi tours en écrivant que R^3 (ou E si tu préfère) est somme directe du plan vectoriel P contenant les deux axes D1 et D2 ainsi que de la droite Delta orthogonale à P.
La restriction des deux demi tours à P donne deux reflexions planes.
La restriction des deux demi tours à Delta est x->-x donc quand on compose ces deux restrictions on obtient x->-(-x)=x.

[kat]

J'ai tracé un repère orthonormal dont l'un des axes correspond à delta et dont D1 et D2 se coupent dans le plan formé par les deux autres axes.
Je comprends bien que la restriction des deux demi-tours à P donne deux réflexions planes.
Par contre pour moi la restriction des deux demi tours à Delta est x->-x si delta coupe D1 ?
Mais après je n'arrive pas à composé ces deux restrictions... Là on parle bien des deux demi-tours séparément? je suis un peu perdue,dsl.

[Ben314]

Euhhhh, là, il y a peut être ambiguité sur la nature de la question que tu te pose. Le groupe SO(3)=O+(3) est le groupe des isométries vectorielles positives, donc tout les sous espaces dont on parle (D1, D2, P et delta) sont des sous espaces vectoriel, qui sont évidement sécants (le vecteur nul est dans tout sous espace vectoriel).

Aprés, il est aussi vrai que les demi tours affines engendrent le groupe Is+(3) des isométries affines positives qui est constitué des rotations, mais aussi des translations et des composées translation/rotation que l'on appelle en général des "vissages".
En fait en affine, il suffit donc de montrer que les translations sont des composées de demi tours (pour les rotations, la preuve est identique à celle dans le cas vectoriel) et, pour ce faire, il suffit de composer deux demi tours par rapport à des droites (affines) parallèles.

[kat]

je suis plus à l'aise en affine.
Je vais étudier ma preuve du cours qui démontre que les demi-tours engendrent Is+(3). J'espère que j'y verrais plus clair !
Merci pour l'aide !

[kat]

Corrigez-moi si je me trompe :
Une rotation vectorielle R se décompose en deux demi-tours d'axe coplanaire et orthogonal à l'axe de R ?

[Ben314]

Corrigez-moi si je me trompe :
Une rotation vectorielle R se décompose en deux demi-tours d'axe coplanaire et orthogonal à l'axe de R ?

Oui, modulo que, en vectoriel, préciser que les deux axes sont coplanaires, ça sert franchement à rien... (par contre ça serait une précision utile en affine)

Ah, si aussi, super important, vachement gràve, à ne pas rater, avant que j'oublie, le truc qui tue, c'est qu'il me semble (parce qu'en plus je suis pas sûr, enfin, pas complètement, mais quand même, il me semble bien, enfin peut-être que) orthogonal, au pluriel, c'est plutôt orthogonaux... :triste:

[kat]

=O Oups Oui la faute !

Bon je crois que ça y ai j'ai l'esprit plus clair !
Sûrement pas parfaitement clair mais y a du mieux ! :we:
Merci encore.