Calcul d'intégral

par **sky-mars** » 03 Mar 2010, 16:47

Bonjour
Je souhaiterai calculer

en passant par le théorème des résidus... mon seul hic : le choix du contour
je voudrai avoir le moins de résidu à calculer mais apparemment c'est tendu !
J'avais penser à choisir un quart de cercle dans le plan (x,y) >0 en excluant x=1 en y mettant un petit cercle de rayon \epsilon mais bon je tombe sur un truc bizar....
qu'est ce que vous suggérez ? ? ?

merciiiiiiii

par **MacManus** » 03 Mar 2010, 17:04

Bonjour

Comme contour, tu peux prendre (dans le plan complexe) un rectangle défini de la façon suivante : la concaténation de 4 segments qui sont [-R,R], [R,R+iR], [R+iR, -R+iR] et [-R+iR, -R] avec R>1.

par **sky-mars** » 03 Mar 2010, 17:09

hum mais avec ça j'aurai à me farcir tous résidus ...
La fonction est paire donc on peut restreindre l'étude sur

.
Peut être la moitié du contour pourra m'éviter la casse !
Tu connais le résultat de l'intégrale ?

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 17:10

Salut !

Sinon, on peut prendre un contour formé des segments

et les arcs de cercles centré en 0 de rayon 1/n et n.

Il me semble que dans ce domaine, la fonction n'admet qu'un seul pôle. Par contre en faisant tendre n vers +oo on va trouver l'intégrale sur [0;+oo[ mais peu importe puisque la fonction qu'on intègre sur R tout entier a le bon goût d'être paire !

:happy3:

par **MacManus** » 03 Mar 2010, 17:14

je ne suis pas certain à 100% mais la valeur de l'intégrale est sans doute

(à vérifier)

par **sky-mars** » 03 Mar 2010, 17:15

nightmare ton contour est tellement sophistiquée que j'arrive même pas à le visualiser :we: :we: :we: :ptdr: :marteau:

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 17:20

Je peux pas trop le faire à ta place mais il n'est pas très difficile à dessiner ! Qu'est-ce qui te gène?

par **sky-mars** » 03 Mar 2010, 17:20

la figure lol !
On a une genre de nappe ??

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 17:22

avec des arcs de cercles? Ca risque d'être dur. Mon contour n'est pas plus difficile que celui de Macmanus.

Tu te fixes un n, tu traces le segment [1/n ; n] , le segment [1/n exp(i pi/3) ; n exp (i pi/3)] et tu relis leurs extrémités par les arcs de cercles.

par **MacManus** » 03 Mar 2010, 17:33

euh je n'ai sans doute pas tout saisi, pourquoi prendre

et non

dans la définition du contour ??

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 17:34

Ben, parce qu'avec exp(ipi/3) on a un unique pôle dans mon contour.

.

par **MacManus** » 03 Mar 2010, 17:38

d'accord merci Nightmare

par **sky-mars** » 03 Mar 2010, 17:53

c'est bon j'ai réussi à faire le calcul !
en fait comme un boulet dès le début j'avais tout faux sur mes pôles du coup j'ai pu prendre un contour sioux genre une portion de cercle partant de 0 à pi/3 assez ressemblant à nightmare sans les n ^^ avec un rayon R.

Le résultat qu'on trouve est

par **Ben314** » 03 Mar 2010, 20:31

Salut,
Pourquoi cherchez vous des contours aussi compliqué là ou le "classique" [-R,R] union le demi-cercle de centre (0,0) de rayon R marche trés bien ?

Si c'est pour "diminuer le nombres de pôles dans le domaine", il y a un truc qui m'échappe, les pôles c'est les z=exp((2k+1).pi/6) qui s'expriment à l'aide... d'une seule formule...

par **MacManus** » 03 Mar 2010, 20:33

oui c'est ce que je pensais aussi pour l'expression des pôles... c'est pour ça que je posais la question à Nightmare (tu as oublié le "i" dans l'expression)

par **Nightmare** » 03 Mar 2010, 20:44

Pourquoi tout le monde trouve mon contour compliqué? En tout cas, il répond à la demande de Sky-Mars qui voulait un contour avec le moins de pôle possible.

par **sky-mars** » 04 Mar 2010, 04:07

Ben314 a écrit:Salut,
Pourquoi cherchez vous des contours aussi compliqué là ou le "classique" [-R,R] union le demi-cercle de centre (0,0) de rayon R marche trés bien ?

Si c'est pour "diminuer le nombres de pôles dans le domaine", il y a un truc qui m'échappe, les pôles c'est les z=exp((2k+1).pi/6) qui s'expriment à l'aide... d'une seule formule...

Salut,
c'était surtout pour éviter le calcul de résidus en prenant un contour avec le moins de pôles possible.

par **Ben314** » 04 Mar 2010, 10:40

Si c'est pour "la beauté du geste", O.K. par contre si c'est le temps de calcul, je pense qu'on y perd à prendre un contours ne contenant pas [-R,R] du fait qu'il faut écrire l'intégrale sur la demi droite "non réelle" choisie et l'exprimer à l'aide de l'intégrale sur la demi droite réelle (bon, d'accord, ça prend une ligne...)
Alors que les résiduts et les poles, que tu en cherche 1 ou 6, c'est la même longueur :
Les pôles c'est les

(avec un 'i' !!!)
Et, vu que

et que les pôles sont racines simples de Q, les résidus sont les

et je vois pas bien le gain de temps qu'on a à n'en calculer qu'un plutôt que les 6...

par **Black Jack** » 04 Mar 2010, 16:07

Et sans passer par le théorème des résidus...

On pose x³ = t et on arrive au bout en 3 lignes.

:zen:

par **sky-mars** » 05 Mar 2010, 02:59

Bonsoir,

Pourquoi le résidu serait

? Je veux dire d'où viens cette formule :doh:

Pour moi sa aurait été un gain de temps par ce que je connaissais pas la formule magique que tu viens de me sortir en quelques secondes :ptdr:

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