Somme de k²

[linda23]

Bonjour, je sais que la somme de 1 à n de k² vaut : n(2n+1)(n+1) /6

mais je comprends pas comment on obtient ce resultat, j'ai vu sur plusieurs sites des demonstrations très compliquées avec récurrence que je n'ai absolument pas comprises

Merci d'avance de votre aide

[Le_chat]

tu connais le principe de récurrence?

[Sylviel]

Par récurrence l'idée de la démonstration est très simple :
si Sn est la somme des carrés jusqu'à n, tu écris
Sn+1=(n+1)²+Sn et tu remplaces Sn par sa valeur (hypothèse de récurrence)
puis tu cherche a reformuler pour obtenir la formule avec n+1. Pour cela je te conseille de réécrire également la formule de la somme des carrés avec n+1.

[linda23]

oui je le connais mais je trouve que la demonstration est dure et enfait je dois utiliser cette formule dans un exercice de probabilité pour calculer l'esperance

[mathelot]

sinon, on cherche un polynôme de degré 3 (polynôme de Bernoulli)
tel que



une fois P déterminé, et x=k, la somme est télescopique

[Sylviel]

non la démonstration n'est pas dure, elle demande juste de faire un petit calcul de quelque ligne, ce qui n'est pas vraiment "dur" pour une démonstration.