Loi de Poisson avec indicatrice

[_Amine_]

Bonsoir à tous, j'ai besoin de votre aide pour l'exo suivant svp :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre A>=0. On pose Y = (X.1[X pair])/2 Déterminer la loi de Y
1[ pair] = indicatrice de X selon sa parité.
Je sèche sévère sur cet exo :hum:

[Joker62]

Haileau ;)

Y'a pas de secret, faut prendre h mesurable positive, calculer E(h(Y)) faire des changement d'indice dans ta somme et retrouver la loi comme ça...

Tu connais cette technique ou pas ?

[_Amine_]

E(h(Y)) = espérance ? si c'est le cas, ce n'est pas encore vu en cours... donc il me faudrait un démarrage simple d'après la loi de Poisson.

HS : je suis de Lille aussi Joker (ECS à Gaston Berger). :happy2:

[Ben314]

Heuuu,
Je vais surement dire une c... mais, dans le calcul (un peu con con) de p(Y=k), il est où le problème ?

[_Amine_]

J'aurais déjà aimé qu'il y ait un calcul, je bloque dès le démarrage. c'est des notions assez fraiches, je n'ai pas forcément les bons reflexes...

[Ben314]

Bon, vu l'énoncé, il me semble que, pour k non nul, Y=k <=> X=2k
donc p(Y=k)=p(X=2k)
Pour k=0, soit tu dit que la somme des probas doit faire 1 ou alors que Y=0 <=> X=0 ou X impair

[Joker62]

X est une loi discrète.
Elle est donc entièrement déterminée par les valeurs P(X=k)

Y est une également une loi discrète, trouver sa loi, c'est trouver les P(Y=k)

P(Y=k) = P(X.1(X pair)/2 = k) = P(X.1(X pair) = 2k)
Les opérations restent les mêmes en gros.

[_Amine_]

X est une loi discrète.
Elle est donc entièrement déterminée par les valeurs P(X=k)

Y est une également une loi discrète, trouver sa loi, c'est trouver les P(Y=k)

P(Y=k) = P(X.1(X pair)/2 = k) = P(X.1(X pair) = 2k)
Les opérations restent les mêmes en gros.

Je sais bien, c la ligne d'après qui pose problème, comment se débarrasser de l'indicatrice? on divise en 2 cas ?

[_Amine_]

Dans le cas de X pair : le résultat est facile : e^(-2n).A^(2n)/ (2n)!
Mais c'est le cas de X impair qui me pose problème.

[_Amine_]

Permettez-moi de upper le sujet, j'en ai besoin pour demain et j'y arrive vraiment pas !

[Joker62]

Hé bien Ben a répondu à la question non ?

Pour tout k positif on a P(Y=k) = P(X=2k)
Reste à trouver P(Y=0) maintenant :o

[Ben314]

Dans le cas de X pair : le résultat est facile : e^(-2n).A^(2n)/ (2n)!
Mais c'est le cas de X impair qui me pose problème.

Ben, il n'y a pas vraiment de "cas X impair" : si X est impair Y vaut 0 (puisque l'indicatrice vaut 0).
Tu as donc (c.f. post #6) :
pour k non nul, Y=k X=2k.
pour k nul, Y=0 X=0 ou X impair.
ce qui te permet de calculer p(Y=k) sans problèmes.

[_Amine_]

Hé bien Ben a répondu à la question non ?

Pour tout k positif on a P(Y=k) = P(X=2k)
Reste à trouver P(Y=0) maintenant

Au temps pour moi.
Euh, est-ce vraiment aussi simple que ça? :mur: ( P(Y=0) = 1-e^(-2n).A^(2n)/ (2n)!)
C'est tellement simple que j'en ai des doutes, et si c'est le cas, je sais dès maintenant ce qu'il me reste comme leçon à travailler :we:

[Ben314]

Non, cela ne risque pas d'être ça :
P(Y=0) = 1-e^(-2n).A^(2n)/ (2n)!)
Que signifierait le 'n' dans une telle formule ?

Par contre, pour n non nul, on a bien :
P(Y=n) = e^(-2n).A^(2n)/ (2n)!
mais là, le 'n' est à droite et à gauche, cette 'formule' dit que
P(Y=1) = e^(-2).A^2/ 2!
P(Y=2) = e^(-4).A^4/ 4!
P(Y=3) = e^(-6).A^6/ 6!
.
.
.

[gigamesh]

Un petit tableau de valeur peut nous aider :

X 0 1 2 3 4 5 6 ....
X pair 1 0 1 0 1 0 1 ....
X* X pair 0 0 2 0 4 0 6
Y 0 0 1 0 2 0 3 ....

Donc p(Y=k)=p(X=2k) pour k<>0, (oké comme Ben314 et Joker62)
et p(Y=0)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=3)+...+p(X=2k+1)+...

"c'est le cas de X impair qui me pose problème"
Bah on s'en fiche de X, c'est Y qui nous intéresse !

[_Amine_]

J'ai compris le procédé, en gros j'ai ça :
P(Y=0) = P ( U[X=2n+1] U [X=0] )
j'applique la loi de Poisson sur € P(X=2n+1) je trouve € e^(-A) . A^(2n+1) / (2n+1)! + e^(-A) le € signifie sigma de 0 à +oo

C'est une série exponentielle, on retrouve e^(-A) e ^(A) + e^(-A) = 1 + e^(-A)
Impossible car ça doit être < 1
Argh, ou se trouve l'erreur dans mes calculs svp ?

[mohn]

je crois que ton erreur de calcul est là :
ne vaut pas exp(A).
Tu devrais plutôt reconnaitre dans cette somme une fonction hyperbolique...

[gigamesh]

Bah où est l'erreur je sais pas ; mais trouver p>1 montre bien qu'il y en a une !

En tout cas il y a une difficulté particulière : on veut ajouter des mais on a que des exposants pairs et aussi des factorielles de nombres pairs ; ça ne fait pas une exponentielle, du coup.

Je sais pas si tu connais les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique, mais ça pourrait t'aider à sommer.